擬共形映射存在定理

擬共形映射存在定理是平面擬共形映射理論的一個基本定理，其最早證明屬於莫利(Morry,C.B.)(1938年)，只是因為術語和重點的不同最終掩蓋了證明本身與這一理論的聯繫。

基本介紹

• 中文名：擬共形映射存在定理
• 外文名：existence theorem on quasiconformal mappings
• 適用範圍：數理科學

簡介

擬共形映射存在定理是平面擬共形映射理論的一個基本定理，即貝爾特米拉方程 的解的存在性和惟一性定理，其中μ(z)是擴充複平面上的復值解析函式，滿足

令𝓜(Ĉ)是所有這種μ所成的集合，存在定理斷言：對任何μ∈𝓜(Ĉ)，存在惟一的Ĉ上的擬共形映射，記為w^μ，滿足規範條件：w^μ(0)=0，w^μ(1)=1，w^μ(∞)=∞，而且w^μ的復特徵 恰為μ(z)，即w^μ滿足貝爾特米拉方程。

性質

從證明可以看出，對任何固定的ζ∈Ĉ，映射μ↦w^μ(ζ)是M(Ĉ)上的全純函式，更確切地，這一函式可以表示為形式：

其中o(||μ||)在Ĉ的任一緊子集上一致趨於0，且

學術證明

存在性定理的最早證明屬於莫利(Morry,C.B.)(1938年)，只是因為術語和重點的不同最終掩蓋了證明本身與這一理論的聯繫。

後來，阿爾福斯(Ahlfors,L.V.)和伯斯(Bers,L.)套用考爾德倫-贊格蒙理論給出了存在性定理的一個簡潔而漂亮的證明。