《擬共形映射及Teichmüller空間幾何學研究》是依託清華大學，由姚國武擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：擬共形映射及Teichmüller空間幾何學研究
- 依託單位：清華大學
- 項目負責人：姚國武
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目開展擬共形映射、Teichmüller空間、漸進Teichmüller空間幾何性質研究。我們將推進擬共形映射極值性研究，並在此基礎上對Teichmüller空間幾何進行更深入的探討，特別地，我們將在有限維Teichmüller空間幾何里引入角度的概念，並利用它來研究Teichmüller空間的凸性和曲率性質以及測地盤的屬性，這些研究將有助於更好地理解有限維Teichmüller空間。同時我們擬將Teichmüller空間的一些理論成果推廣到漸進Teichmüller空間上，對兩個空間上的各種聯繫進行考察，並力圖完全解決漸進Teichmüller空間中的測地線不唯一性猜測。我們還將把Teichmüller空間理論與調和映射理論結合起來，以圖更深入的了解兩者間緊密的聯繫。我們希望通過對這些重要問題的研究來豐富與發展Teichmüller空間理論，並推動國內在這一方面研究的發展。
結題摘要
本項目主要運用擬共形映射作為工具，對Teichmüller空間及漸進Teichmüller空間幾何學性質進行研究。 在擬共形映射極值的研究上，我們取得了許多新的進展，主要表現在以下幾個方面：1. 在Hamilton序列的公共性問題上有實質的推進；對Reich 序列的極限做了分析，回答了Reich的一個重要問題；2. 對局部邊界擴張進行了系統的考察，得到了局部極值表示的漸進極值化；3. 進一步弄清楚了極值映射的坍縮集性質，論證了非常數模極值非坍縮映射的存在性； 分析了不可縮映射與弱不可縮映射的關係，表明他們一般是不等價的；4. 對平凡或局部平凡的Beltrami微分進行了深入的考察，建立了一個平凡類的完備空間， 其次對漸進共形類的星形性進行了考察，得到了一些實質性的例子；5. 發展了粘接擬共形映射的新方法，並估計了其最佳伸縮商。 在Teichmüller空間、漸進Teichmüller空間幾何性質研究方面，我們的進展體現在：1.引入新的技巧， 在Teichmüller空間裡證明了過非Strebel點與基點的測地盤有無窮多個，並且均包含相應的測地線段；2.對Strebel點的開球半徑進行了研究，定量地描述了其最大可能；3. 在有限維Teichmüller空間裡建立了度量的雙元無窮小形式並首次引入了角度的概念，進而在Teichmüller盤問題上取得了突破性進展；4. 首次在漸進Teichmüller空間裡引入本性點的概念，證明了：有無窮多條測地線連線一個非本性點與基點，其次對於任意兩個點都有無窮多條直線通過，特別的我們還構造了一定的本性點，使得有無窮多條測地線連線它與基點。我們也證明了過兩個點的測地盤一定有無窮多個。
