計算共形幾何（理論篇）

《計算共形幾何（理論篇）》是2020年高等教育出版社出版的圖書。

基本介紹

• 書名：計算共形幾何（理論篇）
• 作者：顧險峰、丘成桐 
• 出版社：高等教育出版社
• 出版時間：2020年
• ISBN： 9787040539288

內容簡介

計算共形幾何是跨領域的交叉學科，它將現代幾何拓撲理論與計算機科學相融合，將經典微分幾何、Riemann面理論、代數拓撲、幾何偏微分方程的概念、定理和方法推廣至離散情形，轉換成計算機算法，廣泛套用於計算機圖形學、計算機視覺、計算機輔助幾何設計、數字幾何處理、計算機網路、計算力學、機械設計以及醫學影像等領域中。

本書由丘成桐先生和顧險峰教授共同編寫，立意深遠——以初等數學概念為基礎，以現代理論為目的，有機組織龐大豐富的知識體系，貫穿諸多數學分支，橫跨數學和計算機科學，同時滿足數學家和工程師的迫切需求。本書可供高等院校數學、計算機等各相關專業的廣大師生參考，亦可供網際網路開發、計算機視覺、人工智慧、醫學影像、建築設計等領域的工程師和專業人士參考。

圖書目錄

前輔文

第一章計算共形幾何簡介

1.1 理論簡介

1.2 套用簡介

第一部分代數拓撲

第二章基本群的概念

2.1 基本概念

2.2 基本群的表示

2.2.1 詞群表示

2.2.2 基本群的典範表示

2.3 基本群的計算方法

2.3.1 圖的基本群

2.3.2 曲面的基本群

2.4 一般拓撲空間的基本群

2.4.1 CW-胞腔分解

2.4.2 Seifert-van Kampen 定理

2.4.3 紐結的基本群

2.5 覆蓋空間的理論

2.5.1 覆蓋空間

2.5.2 映射的提升

2.5.3 拓撲, 代數關係

2.5.4 一般覆蓋空間

第三章光滑同倫

3.1 正則封閉曲線和正則同倫

3.2 環繞數

3.3 單位切叢的同倫群

3.4 球面曲線正則同倫

3.5 曲面橫截相交

3.6 六面體格線生成

第四章同調群

4.1 基本方法

4.2 單純同調理論

4.3 單純復形和邊緣運算元

4.4 單純同調群

4.5 同調群的計算

4.6 倫型不變數

4.6.1 單純映射

4.6.2 鏈映射

4.6.3 鏈同倫

4.7 環柄圈和隧道圈算法

第五章上同調理論

5.1 上同調群的直觀解釋

5.2 單純上同調群

5.3 上下同調群的對偶

5.4 外微分的概念

5.5 de Rham 上同調的概念

5.6 拉回上同調群同態

5.7 上同調群的計算

5.8 Brouwer 不動點定理

5.9 Lefschetz 不動點定理

5.10 不動點類理論

5.11 Poincaré-Hopf 定理

第六章上同調的Hodge 理論

6.1 物理解釋

6.2 Hodge 星運算元

6.3 Hodge 理論

6.4 離散Hodge 理論

第七章相對同調Mayer-Vietoris 序列

7.1 相對同調和切除定理

7.2 約化同調

7.3 Mayer-Vietoris 序列

7.4 Jordan-Brouwer 分離定理

第二部分單複變函數的幾何理論

第八章正規函式族

8.1 正規函式族的概念

8.2 全純函式收斂到全純函式

8.3 單葉函式收斂到單葉函式

8.4 Montel 定理

第九章幾何畸變估計

9.1 全純函式族

9.2 Gronwall 面積估計定理

9.3 Koebe 畸變定理

第十章Riemann 映射

10.1 Riemann 映射定理

10.2 唯一性證明

10.3 存在性證明

10.4 Riemann 映射的計算方法

10.4.1 Schwarz-Christoffel 映射

10.4.2 全純微分形式的方法

10.4.3 離散Ricci 流

第十一章拓撲環帶的典範共形映射

11.1 共形映射的存在性和唯一性

11.2 拓撲環帶的全純微分方法

11.3 拓撲環帶的Ricci 流方法

第十二章拓撲四邊形的極值長度

12.1 極值長度

12.1.1 共形不變數

12.1.2 平直度量是極值度量

12.1.3 平直度量存在性

12.2 拓撲環帶

12.3 組合理論

12.3.1 存在性和唯一性

12.3.2 方塊填充

12.4 拓撲四邊形共形模的計算方法

12.4.1 拓撲四邊形的全純微分方法

12.4.2 拓撲四邊形的Ricci 流方法

第十三章多連通區域的狹縫映射

13.1 狹縫映射的存在性(Hilbert 定理)

13.1.1 Bieberbach 定理的推論

13.1.2 狹縫映射

13.2 狹縫映射的全純微分形式計算方法

13.2.1 恰當調和形式群

13.2.2 封閉非恰當調和形式群

13.2.3 全純微分形式

13.2.4 狹縫映射

第十四章多連通區域到圓域的共形映射

14.1 Schwarz 反射原理

14.2 多重鏡像反射

14.3 圓域映射的唯一性

14.4 圓域映射的存在性

第十五章Koebe 疊代算法的收斂性

15.1 拓撲環帶面積周長估計

15.2 解析延拓

15.3 誤差估計

第十六章單值化定理的古典證明

16.1 Liouville 定理

16.2 新月– 滿月引理

16.3 單值化定理

第十七章共形幾何的機率解釋

17.1 調和測度

17.2 Brown 運動和共形變換

17.3 最大雙曲圓盤填充

17.4 組合單值化定理

17.5 機率解釋

第三部分曲面論和幾何逼近論

第十八章曲面論

18.1 曲面的標架和活動標架法

18.2 曲面的微分式及其幾何

18.3 曲面的基本不變式

18.4 Gauss-Bonnet 定理

18.5 共形形變

18.6 協變微分

第十九章離散曲面

19.1 多面體曲面

19.2 歐氏Delaunay 三角剖分

19.3 微分餘弦定理

第二十章幾何逼近理論

20.1 曲率測度

20.2 管狀鄰域體積

20.3 離散法叢

20.4 不變二次微分式

20.5 Delaunay 加細算法

20.6 逼近誤差估計

20.7 離散逼近定理的證明

第四部分調和映射

第二十一章拓撲圓盤的調和映射

21.1 調和函式的物理意義

21.2 調和函式的均值定理

21.3 調和函式的共形不變性

21.4 微分同胚性質

第二十二章拓撲球面的調和映射

22.1 非線性熱流方法

22.1.1 外蘊法

22.1.2 內蘊法

22.2 調和映射和共形映射的關係

第二十三章調和映射理論

23.1 Sobolev 空間的基本概念

23.2 Cα 正則性理論

23.3 調和映射的概念

23.4 Hopf 微分

23.5 調和映射的存在性

23.5.1 Courant-Lebesgue 引理

23.5.2 調和映射的最大值原則

23.5.3 Dirichlet 問題

23.5.4 全局調和映射的存在性

23.6 調和映射的正則性

23.7 Bochner 公式

23.8 調和微分同胚

23.9 調和映射的唯一性

第二十四章調和映射的計算方法

第五部分Riemann 面

第二十五章Riemann 面理論基礎

25.1 Riemann 面

25.2 覆蓋空間

25.3 Riemann 面上的全純和亞純1-形式

25.4 除子

25.5 Riemann-Roch 定理

25.6 亞純微分

25.7 全純1-形式的計算

第二十六章全純二次微分

26.1 全純1-形式

26.2 葉狀結構

26.3 廣義調和映射

第二十七章Teichmüller 空間

27.1 曲面映射類群

27.2 模空間和Teichmüller 空間

27.3 Teichmüller 度量

27.4 拓撲環面的模空間

27.5 Teichmüller 空間坐標

第二十八章擬共形映射

28.1 擬共形映射, Beltrami 係數和伸縮商

28.2 Beltrami 方程

28.3 等溫坐標

28.4 從共形結構到Riemann 度量

第二十九章Teichmüller 映射

29.1 極值長度的變分

29.2 最小模原理

29.3 二次微分誘導的高度

29.4 Reich-Strebel 不等式

29.5 Teichmüller 映射的唯一性

29.6 Teichmüller 存在性定理

29.7 無窮小平庸Beltrami 微分

29.8 Teichmüller 映射和調和映射

29.8.1 目標度量變分

29.8.2 源共形結構變分

第六部分雙曲幾何

第三十章雙曲幾何

30.1 平面雙曲幾何

30.1.1 雙曲測地線和雙曲等距變換

30.1.2 復交比

30.1.3 理想雙曲三角形

30.1.4 Poincaré 圓盤模型

30.1.5 極限圓

30.2 雙曲正弦、餘弦定理

30.3 曲面的雙曲結構

30.4 Thurston 的剪下坐標

30.5 Penner 的 -長度坐標

30.5.1 帶裝飾的雙曲度量

30.5.2 角度坐標

第三十一章雙曲多面體

31.1 雙曲理想四面體

31.2 雙曲多面體的體積

31.3 Shl?fli 體積微分公式

第七部分曲面Ricci 流

第三十二章連續曲面Ricci 流

32.1 Yamabe 方程

32.2 Ricci 流方程

32.3 Ricci 流解的存在性

32.4 曲率的先驗估計

32.5 收斂性

第三十三章離散曲面Ricci 流

33.1 頂點縮放變換

33.2 離散熵能量

33.3 離散熵能量的幾何解釋

33.4 離散曲面Ricci 流算法

第三十四章多面體度量到雙曲度量的轉換

34.1 多面體度量到完備雙曲度量

34.2 多面體度量到帶裝飾的雙曲度量

34.3 帶裝飾的雙曲Delaunay 三角剖分

34.4 頂點縮放操作對雙曲度量的影響

第三十五章離散曲面Ricci 曲率流解的存在性

35.1 存在性定理陳述

35.2 多面體度量的Teichmüller 空間

35.3 帶裝飾的雙曲度量的Teichmüller 空間

35.4 完備雙曲度量的Teichmüller 空間

35.5 Teichmüller 空間之間的微分同胚

35.6 存在性證明

第三十六章離散曲面曲率流解的收斂性

36.1 收斂性定理

36.2 主要技術工具

36.3 證明框架

第三十七章雙曲Yamabe 流

37.1 雙曲背景幾何

37.2 雙曲離散曲面曲率流

37.3 雙曲離散曲率流的套用

第三十八章通用離散曲面Ricci 流理論

38.1 通用理論框架

38.2 相切圓盤填充的構形

38.3 推廣圓盤填充構形

38.4 離散曲面Ricci 流

38.5 離散熵能量的幾何解釋

38.5.1 歐氏背景幾何下逆向距離圓盤填充構形

38.5.2 雙曲背景幾何下逆向距離圓盤填充構形

38.5.3 球面背景幾何下逆向距離圓盤填充構形

38.5.4 雙曲幾何虛半徑圓盤填充構形

38.6 逆向距離的幾何解釋

38.7 Hesse 矩陣的幾何解釋

38.7.1 歐氏背景幾何

38.7.2 雙曲、球面背景幾何

38.8 雙曲正弦、餘弦定理

參考文獻

名詞索引

視頻索引

算法演示