《擬雙曲幾何及相關研究》是依託湖南師範大學，由王仙桃擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：擬雙曲幾何及相關研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：王仙桃
- 依託單位：湖南師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究以下兩個方面的內容。（一）Banach空間上的 CQH映射：作為擬共形映射在無窮維空間上的推廣，Vaisala利用擬雙曲度量定義了Banach空間上的CQH映射，並指出了一些存在的問題。我們研究其中兩個基本問題：一是複平面上的著名Gehring-Hayman不等式是否在Banach空間中成立？我們計畫利用近似短程線代替短程線、擬雙曲度量代替雙曲度量來展開討論；作為所得結果的套用，將討論分別由Heinenon和Rohde 於1993年以及Gehring、Hag和Martio於1989年提出的猜測；另一個是把近似短線映射為solid弧是否是CQH映射的特徵？這些問題的解決將為CQH映射的研究提供一種工具。（二）調和映射，包括單復變和多復變兩種情形：主要研究單復變p-調和映射的一些相關性質以及多復變p-調和擬正則映射Landau-Bloch常數的存在性等。此研究具有重要的理論意義。
結題摘要
此項目研究期間，我們按原計畫展開了對Klein 群、擬雙曲幾何、擬共形映射、調和映射等的研究，得到了系列結果，其中肯定回答公開問題和猜測3個，在SCIE刊物發表（標註本項目資助）論文40篇。具體如下：(一) 作為前一個項目資助期間所得離散準則的套用，建立了新的Klein群收斂性定理；利用檢測元素，得到新的離散性準則，並肯定解決公開問題一個；通過估計元素之間的模，得到基本群是撓一致有界的復雙曲分支流形的體積下界；同時，研究了高維復雙曲空間上的Jorgensen不等式, 並得到了相關流形上的Collar定理。（二）建立了實線性賦范空間中構造單連通一致域和John域的方法，作為套用，首先刻畫了實線性賦范空間中一致域和John域；其次得到了一致域在CQH映射下還是一致域與此映射的邊界可延拓性的關係；還完成了Banach空間中的一致域是否具有擬不變性的討論；這些結果中包括對兩個公開問題的肯定回答。同時，還建立了G-H不等式，並證明了把近似短程線映射為solid弧是CQH映射的特徵。（三）討論了平面（雙、p-、多變數）調和映射的相關性質；同時還完成調和映射和偏微分方程交叉的部分研究；等等。
