擬共形映射與雙曲型度量

《擬共形映射與雙曲型度量》是依託湖州師範學院，由褚玉明擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：擬共形映射與雙曲型度量
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：褚玉明
• 依託單位：湖州師範學院

項目摘要

本項目將通過建立擬雙曲度量、距離比度量和Apollonian度量等雙曲型度量之間的內在聯繫，刻劃各類區域的幾何特徵，計算出幾類典型區域的擬迷向常數，揭示擬迷向域和A一致域的關係並給出具有比較性質區域的新特徵，澄清Euclidean雙Lipschitz映射和Apollonian雙Lipschitz映射之間的內在聯繫；通過對區域近邊界處的點之間的Apollonian度量的精確估計和控制給出Apollonian度量在擬共形映射下的偏差估計，建立擬共形映射的判別準則；引入Apollonian偽測地線概念並給出它的幾何與分析性質，利用偽測地線技術研究Beardon猜想。通過對本項目的研究能為區域的完整分類和擬共形映射的套用研究提供理論支撐，也能為更好的解決Beardon猜想提供新的技術。

結題摘要

利用雙曲測地線和擬雙曲測地線技術以及Mobius變換的基本性質給出了雙曲度量、擬雙曲度量、Apollonian度量、Poincare度量、Techmuller度量和Caratheodory度量之間的內在聯繫，建立了這些度量之間的精確或漸近精確不等式，通過對不同度量性質的刻劃，較為完整的給出了空間區域的分類，並對各類區域和擬球的相關量進行了比較，給出了高維擬球的系列新的充分、必要和充要條件。利用Apollonian度量的Mobius不變性，給出擬球、一致域、擬凸域、John域、Cigar域等典型區域的擬迷向常數的準確值或精確不等式。利用變分原理和函式疊代等方法建立了擬共形偏差理論，進而給出了Ramanujan模方程解的漸近估計。利用奇異積分和調和分析理論給出了Ramanujan模方程的解及其複合（組合）的顯式上下界估計，對擬迷向域和A一致域分別給出了幾何和分析刻劃，建立了二者之間的內在聯繫並給出了具有比較性質區域的本質刻劃。利用區域的比較性質發現了Euclidean雙Lipschitz映射和Apollonian雙Lipschitz映射之間的本質聯繫與差別，分別建立了這二類映射的判別準則和等價條件。利用Hausdorff測度的偏差估計給出了擬共形映射的充要條件，證明了單位球之間的擬共形自映射滿足Possion方程，並推廣了擬共形映射的等度連續性理論。建立了Holder域和Trudinger域為擬共等價的必要和充分條件，給出了區域近邊界處點之間的Apollonian距離的顯式估計。通過對Toader平均、Seiffert平均、廣義對數平均、二次平均、指數平均、反調和平均和Neuman-Sandor平均等二元平均的比較，發現了擬共形特殊函式的系列精確或漸近精確不等式；最後，引入Apollonian偽測地線概念並給出它的幾何與分析性質，利用偽測地線技術在某些特殊區域上解決了Beardon猜想。