《擬共形映射中的超幾何函式及其在 Ramanujan 模方程中套用》是依託湖州師範學院，由王淼坤擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：擬共形映射中的超幾何函式及其在 Ramanujan 模方程中套用
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：王淼坤
- 依託單位：湖州師範學院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目著重研究擬共形映射理論中的超幾何函式的分析和幾何性質及其在 Ramanujan 模方程理論中的套用，主要研究內容為以下三部分：（1） Teichmüller 環容量和 Robin 容量的精確或漸進精確不等式、Hübner 上界函式的無窮乘積表達式和 Hersch-Pfluger 偏差函式的精確估值，並由此改進擬共形 Schwarz 引理和 Ramanujan 模方程解的精確估計；（2）符號差分別為 1/4 和 1/6 的廣義模方程及其相關的超幾何函式的基本性質，給出超幾何級數比值函式的無窮乘積表達式及其對應超幾何函式二次變換的對偶形式；（3）廣義 Grötzsch 環函式和廣義 Hersch-Pfluger 偏差函式的分析性質，給出 Ramanujan 遺留手稿中若干至今尚未得到證明的有關模方程解的代數恆等式的嚴格證明。本項目學科交叉性強，套用前景廣。
結題摘要
共形不變數是研究擬共形映射理論的重要工具，有關共形不變數的許多公式均可以用超幾何函式來表示。不僅如此，數論中重要分支 Ramanujan 模方程也可用超幾何函式給出，並且模方程的解與擬共形映射中的 Hersch-Pfluger 偏差函式密切相關。為此，上世紀 90 年代，芬蘭數學家 Vuorinen 教授等開始對擬共形超幾何函式進行專題研究，歷經 20 多年發展，許多優秀研究成果被獲得，同時也提出了很多問題。本項目圍繞擬共形映射、超幾何函式和 Ramanujan 模方程開展研究，解決了交叉領域中的一些重要問題。主要研究內容和重要結果如下：（1）研究 Hübner 上界函式的無窮級數表達式和 Hersch-Pfluger 偏差函式的精確估計。通過利用 Landen 變換，找到了 Hübner 上界函式由初等函式給出的無窮級數公式，建立了 Hersch-Pfluger 偏差函式在指數形式下的最佳初等估計，並由此改進了擬共形 Schwarz 引理和 Ramanujan 模方程解的估計；（2）研究符號差為 1/4 的廣義 Ramanujan 模方程及其相關模方程函式。藉助 Gauss 超幾何函式的二次變換公式，建立了參數為 1/4 的超幾何級數比值函式無窮乘積表達式及其不等式，揭示了符號差為 1/4 廣義模方程解的性質；（3）研究超幾何函式的 Landen 型不等式，二次變換公式及其推廣形式，單參數的廣義橢圓積分和雙參數的廣義 Grötzsch 環函式的分析性質。我們建立了幾類零平衡超幾何函式的二次變換不等式，證得了第二類完全橢圓積分由初等函式給出的漸近精確估計，推廣了第一類完全橢圓積分滿足的經典不等式到單參數的廣義橢圓積分，獲得了 Gamma 函式的有理函式逼近，證明 0
