臨界點定理與非線性橢圓型方程的變號解

《臨界點定理與非線性橢圓型方程的變號解》是依託山西大學，由李福義擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：臨界點定理與非線性橢圓型方程的變號解
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：李福義
• 依託單位：山西大學

項目摘要

本項目研究的主要內容是：用拓撲度理論、臨界點理論和Morse理論，結合我們找到的新的拉伸條件，研究泛函的變號臨界點和非線性橢圓型方程變號解的存在性。我們利用拓撲度理論、臨界點理論以及Morse理論，深入研究半線性橢圓型方程的變號解，通過臨界群、拓撲度和不動點指數之間的內在聯繫，將它們相互轉化，獲得一些較好的變號解的存在性定理。然後抽象概括，建立一般泛函的一些新的關於變號解的臨界點定理。進一步研究一些擬線性橢圓型方程，獲得較好的變號解的存在性結果。. 臨界點理論的發展與對具體非線性變分問題的研究相輔相成。近年來，非線性微分方程的研究受到了廣泛關注，這些方程是物理學、生態學、經濟學等諸多領域中所涉及到的問題的數學模型, 有著豐富的套用背景。因此，對這些方程變號解的研究，無疑對臨界點理論及非線性泛函分析的發展有著重要的意義。

結題摘要

臨界點理論的發展與對具體非線性變分問題的研究相輔相成。非線性微分方程是物理學、生態學、經濟學等諸多領域中所涉及到的問題的數學模型, 有著豐富的套用背景。因此，對這些方程變號解的研究，無疑對臨界點理論及非線性泛函分析的發展有著重要的意義。本項目用拓撲度理論、臨界點理論和Morse理論，結合我們找到的新的拉伸條件，研究了非線性橢圓方程變號解的存在性和多解性，以及非線性Sturm-Liouviile邊值問題變號解的存在性與多解性。通過臨界群、拓撲度和不動點指數之間的內在聯繫，將它們相互轉化，在共振條件下，獲得了一些較好的變號解的存在性定理。另外，本項目還利用臨界點理論研究了一些具有非局部項的非線性微分方程正解的存在性， 以及一些方程組的解的多重性，在去掉一些有界性條件下，都得到了較好的存在性結果。