《一類半線性橢圓型方程組的變分法研究》是依託北京化工大學，由趙雷嘎擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：一類半線性橢圓型方程組的變分法研究
- 依託單位：北京化工大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：趙雷嘎
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要套用變分方法研究一類半線性橢圓型方程組，包括與Maxell方程耦合的Schrodinger方程、Klein-Gordon方程和Dirac方程以及相應的奇異擾動問題。這類方程組在量子力學、半導體理論等領域有著廣泛的套用。 我們將在係數函式和非線性項滿足更一般的條件下，研究相應的變分泛函，獲得非平凡解、正解的存在性和多解性。對於常係數的方程組，我們討論其正解的徑向對稱性以及基態解的性質。對於相應的奇異擾動問題，我們將主要討論解的集中現象，以及係數函式的臨界點對解的集中位置的影響。 此外，我們將通過對這類方程組的研究探索相關的理論問題，比如與方程組有關的臨界點理論等重要課題。
結題摘要
在該項目執行期內,項目組主要以與Poisson方程耦合的Schrodinger方程以及相應的奇異擾動問題為研究對象，綜合套用變分方法和非線性分析方法研究該類方程組解的存在性、多解性、峰值解的集中性. 在位勢為臨界頻率或變號位勢並帶有參數的情形下，研究了該方程組非平凡解的存在性，並證明了集中於位勢函式零點集上的半經典解的存在性. 在位勢為徑向函式,並允許位勢衰減到零的情形下，通過建立徑向函式構成的Sobolev空間的緊嵌入定理，並利用臨界點定理、徑向函式的Strauss不等式以及橢圓方程的先驗估計，在非線性項只在零點附近加條件的情形下建立了非平凡解的存在性、無窮多解的存在性. 在非線性項具有混合增長特性的情形下,通過分析變分泛函的幾何性質,結合臨界點定理以及橢圓方程的先驗估計,獲得了該方程解的存在性、無窮多解的存在性和漸近性質. 這些結果完成了項目申請中所涉及的存在性和集中性問題. 項目組還研究了外區域上具有競爭項的擬線性橢圓方程解的存在性和多解性問題、具有臨界增長的擬線性橢圓型方程解的存在性和可解性、Hamilton型的Schrodinger方程組基態解的存在性和無窮多解的存在性問題. 這些研究結果完成了項目申請中所涉及的主題內容，豐富了橢圓方程和方程組的理論.在項目執行期間,項目組成員已在國際SCI收錄雜誌發表學術論文6篇, 在此基礎上申請到國家公派訪問和北京市青年英才計畫的資助，培養碩士研究生1名.
