《Heisenberg群上次橢圓方程解的對稱性和凸性》是依託南京林業大學，由劉海蓉擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：Heisenberg群上次橢圓方程解的對稱性和凸性
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：劉海蓉
- 依託單位：南京林業大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本課題擬深入研究Heisenberg 群上兩類典型次橢圓方程解的對稱性和凸性。套用偏微分方程、變分法和幾何分析的思想方法，建立全空間上一類含次Laplace運算元的半線性次橢圓方程正解的對稱性和單調性，研究度量球上含次p-Laplace運算元的擬線性次橢圓方程 Dirichlet邊值問題正解的對稱性和單調性；在有界光滑H-凸域上建立次Laplace方程Dirichlet邊值問題經典解的凸性估計。次橢圓方程是由水平向量場所誘導的偏微分方程，由於這類方程在邊界層理論、幾何控制論、圖像處理和非完整力學等領域有重要套用，而方程本身又是一類高度退化方程，越來越受到人們的重視。對稱性和凸性作為方程解的重要幾何特徵，一直是偏微分方程研究中的重要方面。開展本課題的研究，可進一步豐富偏微分方程和幾何分析的理論。
結題摘要
本項目經過三年的科學研究，在全體項目組成員的共同努力下，預期目標已基本達到。在次橢圓方程解的性質方面取得了一系列的研究成果。在此期間，項目組共發表科研論文5篇，其中SCI期刊源論文4篇，國核心心期刊論文1篇。所取得的研究成果主要體現在如下幾個方面：基於次橢圓方程解的對稱性方面： 研究了Heisenberg群上一類耦合的次橢圓方程組正解的對稱性，利用能量估計方法證明全空間上該次橢圓方程組不存在非平凡的正解。基於次橢圓方程解的增長性方面：研究了Heisenberg群上係數滿足群周期函式的散度型次橢圓方程，通過構造水平差分結構，利用次橢圓估計和群上多項式的性質，證明上述方程滿足多項式增長的解一定是係數為群周期函式的廣義多項式。基於Grushin方程解的零點集方面：建立了高維空間上齊次Grushin-調和多項式的解空間的維數和基底函式；深入刻畫了三維空間上Grushin調和函式零點集的幾何結構，得到球面Grushin調和函式的零點區域個數的最小下界估計。
