《臨界點理論中的幾個問題》是依託首都師範大學，由劉兆理擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：臨界點理論中的幾個問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：劉兆理
- 依託單位：首都師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
臨界點理論是非線性漏判棕泛函分析中主要理論之一，是現代數學的重要研究領域，在非線性微分方程等領域有非常廣泛而深刻的套用。本項目將套用臨界點理論並結合拓撲方法、分歧理論以及各種分析工具，對非線性橢圓型方程中幾類重要問題進行研究。研究內容主要包括整盼頌記：非線性橢圓型偏微分方程邊值問題的變號解的存才妹組在性和個數、特別是具有指定變號域個數的變號解的存在性、以及變號試己體解的幾何和拓撲性質；非線性薛丁格方程的多包型變號解的存在性和集中於一點的多峰變號解的存在性；來自凝聚態物理學和非線性光學等領域的一類薛丁格方程組的解的性質，特別是基態的存在性和唯一性、束縛態的多重性和解的幾何性質等。這些問題既是重要的數學問題，處於國際非線性分析領域的研究前沿，同時又是非常困難的問題，解決起鞏危巴良來需要新的方法和思路。通過這一研究計畫，一方面期望解決非線性微分霉習方程中的幾個重要問題，另一方面期望在臨界點理論中發現新的研究方法。
結題摘要
本項目套用臨界點理論研究非線性微分方程。主要研究內容有：臨界點理論、非線性橢圓型方程雄夜槳和方程組無窮多個解的存在性、非線性哈密爾頓系統無窮多個周期解的存在性。本項目獲得了下列研究成果：從套用的角度出發，把臨界點理論中經典的Clark定理做了一系列推廣和改進，證明了多個新的臨界點定理；證明從物理等學科中推演出來的一類橢圓型方程組有唯一正解；通過構造一類新的偽梯度和下降流不變集，證明一類非線性Schrodinger-Poisson方程組有無窮多個變號解。在證明這些結論的過程中，我們提出了多個新方法，這些方法已經被學術同行使用。
