《接觸幾何和無限遠處的臨界點理論》是依託上海交通大學，由徐永忠擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：接觸幾何和無限遠處的臨界點理論
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：徐永忠
- 依託單位：上海交通大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要利用無限遠處的臨界點的觀點和Morse理論，對三維緊流形上的接觸形式的Reeb周期軌道以及接觸同調群進行研究。特別地，本項目將研究三維球面上的Gonzalo-Verela形式的Reeb周期解及Legendrian曲線的動力系統和接觸同調群。本項目還將對接觸同調群在小擾動下的穩定性進行研究。Reeb周期軌道的存在性是經典力學中哈米爾頓矢量場周期軌道存在性的自然推廣，具有重要的理論意義。接觸同調群是理解Reeb周期軌道的存在性和結構的重要工具。由於所研究的變分問題幾乎處處不滿足Fredholm性質，這是一個非常困難的變分問題。本項目的研究成果有望有效地推動接觸幾何和變分理論的發展，有重要的理論價值。
結題摘要
我們改進了A.Bahri 在他1996的專著中所定義的一個擬梯度流。這個擬梯度流定義在三維緊切觸流形的對偶Legendrian曲線的一個子空間上。我們還研究了這個擬梯度流的各種估計和單調性公式。這個擬梯度流的一個最重要的性質是，沿著這個曲線流，一個閉合曲線或者會流到這個切觸形式所對應的Reeb周期軌道上，或者會有爆破現象，流到一類非常特別的曲線上，一個具有分層流形結構的空間，我們稱這類曲線為無窮遠處的臨界點。 這個擬梯度流還有一些其它的重要性質，是我們整個框架的基礎。我們對無窮遠處的臨界點的各種性質，例如，怎樣計算它們的Morse指數等已經有了很好的理解。 同時，我們還研究了這個對偶Legendrian曲線的子空間的拓撲結構。我們證明了，在v旋轉充足的條件下，這個子空間和整個流形的路徑空間具有同樣的同調群和同胚群，也就是說它們是弱同倫等價的。這個表明了這個對偶Legendrian曲線的子空間的重要性，我們的框架是研究接觸幾何的一個正確的框架。只要理解了這個子空間的性質，我們就可以了解整個路徑空間的拓撲。
