《半線性薛丁格方程組的多解研究》是依託北方工業大學，由林麗珊擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：半線性薛丁格方程組的多解研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：林麗珊
- 依託單位：北方工業大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬研究n維歐氏空間中半線性薛丁格(Schr?dinger)方程組的完全非平凡解的存在性與多解性。此類方程組出現在非線性光學、Bose-Einstein 凝聚以及量子力學中的Hartree-Fock理論等領域。近十多年來，此類方程組在國際上不但得到許多理論物理學家的關注，也引起了許多數學家的研究興趣，成為非線性分析領域的熱點問題之一。對這些方程組的研究不但解釋了某些物理現象，而且導致了研究方法和技巧的進一步深入發展和一系列具有挑戰性的新問題的產生。本項目擬綜合運用極小極大方法、Morse理論以及分支(bifurcation)方法等非線性分析的工具，對這些問題進行深入研究，希望揭示方程組所帶參數與方程組存在多個完全非平凡解的關係，進而發展出一些新的關於非線性問題多重解存在性的思想方法，為相關問題的研究提供思路。
結題摘要
本項目研究n維歐氏空間中半線性薛丁格(Schrödinger)方程組的完全非平凡解的存在性與多解性。此類方程組出現在非線性光學、Bose-Einstein 凝聚以及量子力學中的Hartree-Fock理論等領域。綜合運用極小極大方法、Nehari流形、Morse理論以及變分約化方法等非線性分析的工具, 我們對這些問題進行深入研究，揭示了方程組所帶參數與方程組存在多個完全非平凡解的關係。主要內容包括：(1)研究在相互排斥和相互吸引的情形，當位勢函式不是常數時，參數和薛丁格方程組最小能量可達問題的聯繫。(2)隨著參數趨於0，我們可以得到薛丁格方程組越來越多的變號的非徑向對稱的完全非平凡解。(3)研究在相互吸引的情形，當位勢不是常數，滿足適當的條件，不要求是對稱函式，方程有無窮多個完全非平凡解。(4)對全空間 上具有各向異性係數函式的臨界退縮橢圓方程進行了詳細的研究。(5)研究了全空間上與Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式相關的半線性橢圓型方程的多泡型正解（multi-bubble positive solution）的存在性。利用單個方程的研究方法，促進薛丁格方程組新的完全非平凡解存在性研究。研究結果發展出一些新的關於非線性問題多重解存在性的思想方法，為相關問題的研究提供思路。
