各向異性隨機場與隨機偏微分方程的幾何性質及其套用

《各向異性隨機場與隨機偏微分方程的幾何性質及其套用》是依託浙江工商大學，由陳振龍擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：各向異性隨機場與隨機偏微分方程的幾何性質及其套用
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：陳振龍
• 依託單位：浙江工商大學

項目摘要

隨著來自許多領域的數據沿著各個不同的方向有著不同的幾何和機率特徵，許多學者開始套用各向異性隨機場作為更真實隨機模型。如何深入研究這類具有更加豐富特徵的各向異性隨機場的獨特性質和共同特性，是國際性的前沿問題，具有重要的理論意義和套用價值。本項目將採取多種場合交叉複合的研究手法，探討各向異性隨機場、各點異性隨機場與隨機偏微分方程解的機率、幾何和漸近性質，探索這些隨機場之間的內在本質的聯繫和一般條件準則，探尋時空模型中的各向異性隨機場的構造及其軌道的漸近性質。針對若干尚未解決的問題，利用處理隨機場方面的前沿結果和研究方法（如馬利亞萬分析、小波分析等），以獲取有關各向異性隨機場方面新的結果或者在實質上改進已有的結果，為發展或者完善套用廣泛的時空模型提供有效的理論依據。高能碰撞中多粒子末態的非線性特徵由定性分析進入到定量研究是一個有重要意義的變化，本項目將利用隨機分形理論在這方面做些探索。

結題摘要

隨著來自許多領域的數據沿著各個不同的方向有著不同的幾何和機率特徵，許多學者套用各向異性隨機場作為更真實隨機模型。如何深入研究這類具有更加豐富特徵的各向異性隨機場的獨特性質和共同特性，是國際性的前沿問題，具有重要的理論意義和套用價值。 本項目採取多種場合交叉複合的研究手法，探討了各向異性隨機場、各點異性隨機場與隨機偏微分方程解的機率、幾何和漸近性質，研究了隨機場之間的內在本質的聯繫和一般條件準則，討論了各向異性隨機場的構造及其軌道的漸近性質。針對若干尚未解決的公開問題，我們利用隨機場的前沿結果和研究方法得到了各向異性隨機場方面的一些新結果，發展了較為系統的研究各向異性、逐點異性的隨機場和具有各向異性的隨機偏微分方程樣本軌道性質的新方法，為發展或者完善套用廣泛的時空模型提供了有效的理論依據。 課題組通過四年的研究，得到了較為系統的結果。 採用不對稱維數和隨機測度的方法研究了滿足一般條件的各項異性隨機場的相交性、極集和極函式，得到了其相交機率，相交集合的Hausdorff和Packing維數，解決了LeGall提出的關於布朗運動的非極、連續Holder函式存在性問題。我們還將結果推廣到非高斯和分量相依的情形。 研究了具有各點異性的調和型多重分數布朗運動軌道的性質，得到了其碰撞機率、局部時和極集存在的充要條件，同時也給出了由其產生的隨機集的Hausdorff和Packing維數與測度，其結論解決並推廣了肖益民教授提出的關於布朗單極集的維數問題。這些結果可以套用到分數布朗單及時空高斯噪聲驅動的隨機偏微分方程解。 採用Malliavin變分法研究了高斯隨機場局部時和自相交局部時在Meyer-Watanabe意義下的光滑性和存在性問題。這些結果不但推廣了現有的結果，而且把現有的結果統一到同一框架下。 課題組還對非退化擴散過程樣本軌道的性質，廣義連續時間隨機遊走的scaling極限，變化環境中分枝過程的收斂性等問題進行了研究。 課題組成員也結合各自研究特點研究了隨機過程和隨機分形在數理模型、保險精算和風險管理中的套用。