《一類來源於金融衍生產品定價模型中的自由邊界問題》是依託華南師範大學，由楊舟擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：一類來源於金融衍生產品定價模型中的自由邊界問題
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：楊舟
- 依託單位：華南師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
金融產品的運轉狀況影響著人民的生活水平和社會的穩定，去年的金融風暴就是一例。而金融產品正常運轉的必要條件是給它們正確的定價，因此對它們定價模型的研究至關重要。許多金融衍生產品定價模型可以描述為最優停時問題，同時可轉化為自由邊界問題，其自由邊界對應著最佳實施條件。近些年，國內一些學者在姜禮尚教授的帶領下，開始用偏微分方程工具更加深入地研究這些問題的性質，如解和自由邊界的正則性、關於時間的單調性、漸進性等。這些數學性質是一些經濟性質的直接體現，對它們的研究有很強的實際意義。這些自由邊界問題一般具有一定的奇性，不同於物理中抽象出的自由邊界問題，因此對它們的研究也有著非常重要數學理論價值。目前已有一些利用具體問題的具體特性通過特定的變換和方法得到解和自由邊界性質的文章，但還有眾多的問題有待研究。因此有必要拓展自由邊界問題的研究方法，尋求更一般的方法來解決這些問題，解釋、預測和規範現實中的金融市場。
結題摘要
本項目已完滿地完成了既定目標。本項目主要研究了一類金融衍生產品的定價問題，這類問題可以通過最優停時問題來描述，而且可以轉換為變分不等式問題，然後利用偏微分方程的方法對變分不等式問題的數學性質進行研究，從而揭示原定價問題中的一些金融性質。 具體而言，我們在該項目中完成了如下任務。假定原生資產的價格服從初始時刻t、初始價格S的隨機微分方程，其中的漂移項、擴散項是關於t和S的確定型函式，滿足一定的條件。假定衍生產品的價格模型可以通過最優停時問題描述，其中衍生產品的價格是一個報酬函式的數學期望（代表在產品生命期中所有收入的現值平均），報酬函式由累積報酬（生命期中持續的收入）和終止報酬（終止時或到期時的收入）組成，其中累積報酬函式和終止報酬函式是t和S的確定型函式，滿足一定的條件，其正則性不一定很高。報酬函式大小依賴於停時（用於描述終止（實施）該產品的時機，可以通過已有的信息判斷是否實施），產品的持有人可以選取最優的停時（終止時刻，即實施該產品的時機），使報酬函式的數學期望最大。如果最大值存在，則稱為該問題的值函式，是t和S的確定型函式，即是該衍生產品的價格；同時稱與最大值對應的停時為最優停時，即是持有人的最優實施策略。 我們先利用自己推廣的Ito公式證明了驗證定理，即其伴隨的變分不等式的強解即是該最優停時問題的值函式，而且最優停時可以通過變分不等式對應的自由邊界進行刻畫。 然後在一定條件下證明了變分不等式的強解存在唯一性；提高了解和自由邊界的正則性，證明了自由邊界在內部是光滑的，而且解在整體區域上一階導數(關於t或S)是連續的，在持有區（方程成立區域）中是光滑的。而且證明了，即使漂移項和擴散項是關於t和S的函式，只要條件適當，解和自由邊界也是可以關於t和S單調的；但在某些情況下，即使漂移項和擴散項非常簡單，解和自由邊界也可能關於t和S是非單調的。還給出不同條件下，解和自由邊界不同的的上、下界估計，自由邊界的起始點。 在一定條件下，證明了有限時區問題（即拋物問題）的解和自由邊界在適當的空間內收斂到無限時區問題（即相應的橢圓問題）的解和自由邊界。我們還在一定的條件下，將解和自由邊界在終止點附近進行漸進展開。 最後我們還對一些問題進行了一定的數值計算，驗證了理論證明的結果。
