《三維橢圓方程Cauchy問題的正則化方法》是依託西安電子科技大學，由馮曉莉擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：三維橢圓方程Cauchy問題的正則化方法
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：馮曉莉
- 依託單位：西安電子科技大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
橢圓方程Cauchy問題在工程技術領域具有廣泛套用，例如逆散射、電阻抗斷層、光斷層掃描和解析延拓等問題的模型都可轉化為該問題。而解決此問題的難點在於其解並不連續依賴於輸入數據，輸入數據即使有微小的擾動都可能導致解的爆破。目前，二維情形已有一些結果，而對於三維情形，由於其不適定程度更高以及所得矩陣方程非常龐大等原因導致該問題的求解難度大增，目前只有一些條件穩定性的結果，很難見到有效的正則化方法和快速高效的算法。因此，如何選取合適的正則化參數、如何處理離散所得的矩陣方程、如何建立快速有效的算法都是很有意義和難度的問題。鑒於此，本項目擬用某些正則化方法來研究三維橢圓方程Cauchy問題，採用確定性方法來選取正則化參數，並分別對先驗選取與後驗選取規則給出相應的誤差估計。同時嘗試將正則化方法與預處理GMRES方法相結合，並藉助於快速Fourier變換給出相應的快速算法來節省存儲空間和計算時間。
結題摘要
橢圓方程Cauchy問題在工程技術領域具有廣泛套用，例如逆散射、電阻抗斷層、光斷層掃描和解析延拓等問題的模型都可轉化為該問題。而解決此問題的難點在於其解並不連續依賴於輸入數據，輸入數據即使有微小的擾動都可能導致解的爆破。關於二維情形已有一些研究結果，而對於三維情形，由於其不適定程度更高以及所得矩陣方程非常龐大等原因導致該問題的求解難度大增，之前只有一些條件穩定性的結果，很難見到有效的正則化方法和快速高效的算法。針對此，本項目採用擬邊界值方法來研究三維橢圓方程Cauchy問題，採用確定性方法來選取正則化參數，並分別對先驗選取與後驗選取規則給出相應的誤差估計。關於正方體區域，本項目將正則化方法與預處理GMRES方法相結合，並藉助於快速Fourier變換給出相應的快速算法來節省存儲空間和計算時間。對於一般的柱形區域，本項目給出了擬邊界值方法，並得到相應的誤差估計，後續工作將完善相應的數值結果。所得的理論結果將對其他不適定問題的處理提供一定的參考。
