《不適定問題非經典正則化方法有關問題的研究》是依託蘭州大學，由傅初黎擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：不適定問題非經典正則化方法有關問題的研究
- 依託單位：蘭州大學
- 項目負責人：傅初黎
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
不適定性是數學物理反問題的本質特性。恢復解對數據的連續依賴性是當前不適定問題研究的主流，也是反問題研究領域的前沿和熱點課題，其理論基礎是正則化。目前經典的正則化方法已經形成了比較系統完備的一般理論。由於問題的推動，一些新的正則化方法不斷出現，並在解決實際問題中發揮了巨大的作用，我們把這些方法統稱為非經典正則化方法。這些方法大都是針對具體問題的比較零散的結果，尚沒有形成較一般的理論。本課題將對這些非經典正則化方法開展三個方面的研究。一是針對一些有代表性的方法在數值擬微分運算元的框架下進行比較系統的理論研究，旨在建立這些方法的一般理論體系；二是發掘有關非經典正則化方法更深入更廣泛的實際套用，特別是在解決一些新問題和困難問題中的套用，希望能得到一些突破性成果；三是開展對部分方法較為細緻的算法研究，以適應高維數和一般區域等困難問題的實際需求，進一步提高這些方法的有效性和實用性。
結題摘要
正則化方法是不適定問題研究中恢復解對數據連續依賴性的理論工具，在不適定問題研究中占有極其關鍵的地位。作為Tikhonov方法等經典正則化方法的重要補充，近年來多種非經典的新方法不斷出現並在解決實際問題中發揮了重要作用。但這些結果相對零散，缺乏系統深入研究。本項目從理論和套用層面比較系統的研究了多種非經典正則化方法並取得了較為豐碩的研究成果。我們的主要工作可以概括為如下幾個方面：1.在數值擬微分運算元的框架下完整建立了Fourier正則化方法的一般理論，同時還初步建立了Meyer小波方法的先驗一般理論和級數截斷方法的後驗理論；2.結合具體問題研究探索了多種非經典正則化方法的後驗理論，所得大部分結果都是首次給出的，填補了有關研究空白；3.對貝葉斯統計方法進行了新的探索；4.結合擬邊界值正則化方法對三維空間變係數二階橢圓方程Cauchy問題的數值方法進行了深入研究，給出了一種適用於大型計算，可以大幅度提高計算速度的新算法；5.通過使用一些非經典的正則化方法，在多個有相當難度的反問題研究中取得了可喜進展。
