金融中的反問題及數值計算

《金融中的反問題及數值計算》是依託中國人民大學，由許作良擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：金融中的反問題及數值計算
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：許作良
• 依託單位：中國人民大學

項目摘要

本項目研究金融中的反演問題及數值計算，它是金融數學的一個重要分支。我們將利用不同的數學工具（如偏微分方程、反演問題的正則化方法、最佳化理論、隨機微分方程、蒙特卡洛模擬等）處理金融中的反演問題，實現數理金融的模擬過程，解決計算金融的有關問題。著重研究基於期權定價Black-Scholes模型以及有關的參數反演問題，對金融衍生證券的價格波動的不適定問題的反演理論和計算方法進行研究分析。採用理論研究與實證模擬相結合的研究方法，將反演計算方法引入波動率隨機性問題的研究中，通過建立期權定價反演問題模型，再將結果運用到正問題- - 期權定價的研究中。我們還研究隨機利率模型下期權定價問題，同時根據反演出來的參數進行市場分析和預測，分析市場風險，並結合我國金融市場的實際，探討金融問題的數值方法，以便對複雜的金融現象進行有效的分析，因此該項目無論從理論上還是實際上均有重要意義。

結題摘要

本項目主要研究金融中反問題及數值方法，它是金融數學與計算數學的一個重要交叉研究領域。對金融中的反問題，近十多年來國內外已有一些研究成果，但金融反問題的理論與套用，尤其是相關數值計算方法方面，有許多問題值得進一步深入研究。我們利用偏微分方程、反演問題的正則化方法、最佳化理論、蒙特卡洛模擬等數學工具處理金融中的反問題及數值計算。著重研究基於期權定價Black-Scholes模型以及有關的參數反演問題，歐式期權定價的反問題, 跳躍-擴散模型的參數校準問題, 美式期權定價問題的數值方法,隨機利率模型中的反問題及相關其它問題,提出了一些解決問題的新思路和新方法, 主要成果包括基於Black-Scholes模型，在一定條件下得到了期權價格函式的有界性結果，並且使用分析方法、正則化和投影梯度算法研究了局部波動率重構問題; 用信賴域方法，基於單因子的Hull-White模型和Black-Scholes模型，討論了漂移項和波動率的校準問題，數值結果表明了算法的有效性; 用正則化方法，探討跳躍-擴散模型的波動率校準問題，我們設計了一個基於最小相對熵函式的改進正則化算法,給出了高斯牛頓疊代算法並證明了其算法的收斂性; 對隨機利率模型中的反問題，研究由零息債券的市場價格重構短期利率模型和推廣Hull-White模型中隱含波動率的反問題，基於線性化方法、引入冪級數函式討論參數校準問題，利用正則化方法得到問題解的存在性、穩定性和所滿足的必要件，並給出數值算例；此外我們還給出了美式看跌期權定價的隱-顯和顯-隱交錯算法，CIR模型參數校準的加權極大似然法, 隨機波動率模型下算術亞式期權的Monte-Carlo模擬定價, 並用改進的Newton-Raphson方法計算隱含波動率等, 得到了一些新結果，這些成果無論從理論上還是實際上均有重要意義。