《非線性運算元方程變號解的局部與全局特性》是依託陝西師範大學，由韓國棟擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：非線性運算元方程變號解的局部與全局特性
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：韓國棟
- 依託單位：陝西師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
近年來，因其物理、生物背景的重要性與數學意義的深刻性，非線性運算元方程變號解的研究正逐漸成為熱點．本項目的主要目標是在適當的緊性與變分結構下，探索非線性運算元方程變號解的局部與全局特性．內容有：(一)擬結合半序理論、拓撲度理論與臨界點理論等方法研究非線性運算元方程變號解的存在性與局部信息，如局部度數、Morse指數以及臨界群等.預期利用已有解的局部信息結合非線性運算元的大範圍性質來得到更多的正解、負解以及變號解.(二)擬研究各個解之間的關係，如序關係、各自存在性之間是否有蘊涵關係等. 以此為基礎，試圖給出幾個解的構造性的存在定理，從而為求解提供一些算法，如通過下降流來建立解的疊代程式.(三)擬利用分歧理論研究含參數的非線性運算元方程解集的結構對參數的依賴與分歧現象，探討變號解的全局特性.(四)擬研究一類梁方程．以前述所獲結果為基礎，我們預期為一類梁方程建立一些正解、負解與變號解的存在性與多重性定理.
結題摘要
本項目研究非線性運算元方程變號解的存在性與多解性、Shannon採樣重構慢收斂、直覺模糊集上的三I方法以及NURBS參數曲線收斂性等問題。所獲主要結果有：(1)套用下降流不變集、半序與虧格理論, 建立了關於非線性運算元方程變號解存在性的若干定理，並將抽象結果用於一類梁方程正解、負解與變號解的存在性與多重性：(i)通過在正錐、負錐中構造下降流不變集，建立了存在一正解與一負解的定理。(ii)當非線性項在原點次線性，無窮遠處滿足超二次條件時，建立了存在一正解、一負解以及一變號解的定理，與文獻相比，我們直接在L2空間中構造開集，不必引入嵌入L2空間的C空間，避免了因L2空間的正錐沒有內點，使用bootstrap技巧的複雜性。(iii) 在非線性項具有對稱性的條件下，建立了無窮多個變號解的存在定理，與文獻中限定存在無限多對上下解相比，我們的條件更加自然且更易驗證。(2)Shannon採樣定理指出, 帶限信號可由其Nyquist率離散採樣準確重建．然而，因其重建公式收斂速度慢，在實踐中並不好用．因此，在理論上迫切需要知道，對於全體帶限信號，該公式究竟有多慢．我們從重建運算元序列的角度研究了Shannon重建的收斂速度．利用線性運算元列的慢收斂理論，證明了Shannon重建由一列任意慢收斂的運算元組成．具體地，對於任意極限為零的正數列，不論其收斂速度有多慢，總存在帶限信號f, 其主級數第n個截斷誤差的Lp範數大於前述數列中的第n項．不僅如此，還證明了，當使用基於過採樣的加速技巧後，收斂速度仍是“幾乎任意慢”的，即過採樣加速技巧並不能從整體上加快重建運算元列的速度．這一似乎令人沮喪的結果從理論上指明了Shannon重建序列的局限，因而具有深刻意義。 (3)模糊取式(FMP)與模糊拒取式(FMT)是模糊推斷中的兩個基本推理模型, 三I方法是解決FMP 與FMT問題的一種重要方法．利用剩餘型蘊涵，將三I方法推廣到直覺模糊取式(IFMP)直覺模糊拒取式(IFMT)上，並給出了相關的算例．在此基礎上，考察了IFMT三I方法的還原性，對某些剩餘型直覺蘊涵的局部還原性給出了充分條件．此外，還提出了IFMT的alpha-三I方法。(4)利用拓撲同胚思想，探討了NURBS曲線關於某個權因子的收斂性，得到了逐點但非一致收斂、一致收斂以及L1收斂的結論．這些結論部分地澄清了NURBS曲線收斂性理論中的一些困惑。
