《一類具變指數增長的非線性橢圓問題的研究》是依託哈爾濱工業大學，由張夏擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：一類具變指數增長的非線性橢圓問題的研究
- 依託單位：哈爾濱工業大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：張夏
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目基於變指數函式空間的基本理論，對全空間上的一類帶擾動的變指數橢圓型微分方程進行研究。具變指數增長的非線性理論在彈性力學、電流變學及圖像恢復等許多領域內都有重要的套用。研究內容包括：方程極小能量值解的存在性、正則性、對稱性及無窮遠處的衰減性及解的集中性質。由於變指數問題具有更為複雜的非線性性質，傳統的理論工具和論證方法常常不再適用，使得對於這類問題的研究較為困難。.目前關於帶擾動的變指數橢圓型微分方程的極小能量值解及解的集中性質的研究基本上還處於初期的探索階段，完成本項目將會得到更具創新性的研究成果。
結題摘要
本項目主要基於變指數函式空間的基本理論，對具變指數增長性條件的非線性橢圓型微分方程進行了研究。具變指數增長的非線性理論在彈性力學、電流變學及圖像恢復等許多領域內都有重要的套用。由於變指數問題具有更為複雜的非線性性質，傳統的理論工具和論證方法常常不再適用，使得對於這類問題的研究較為困難。受本項目支持，主要得到如下研究結果：(1)對一類具臨界位勢的p(x)-Laplace方程進行了研究。目前，在關於p(x)-Laplace方程甚至更一般的具變指數增長的橢圓型方程的研究中，位勢項V(x)均有正的下界。而在我們的研究中，方程中出現的位勢項V(x)沒有做如此假設。我們只需要V(x)非負即可，甚至可以取到零，這與已有的研究成果大不相同。此時，稱方程是具有臨界位勢的，這一假設給我們的研究帶來了困難。在本部分的研究中，首先，採用變分的方法，得到了方程非負弱解在變指數Sobolev空間中的存在性。另外，當方程右端項為奇函式時，基於臨界點的Lusternik-Schnirelman理論，得到了方程一列非平凡弱解的存在性。(2)對一類具變指數增長的強p(x)-Laplace方程進行了研究。這類方程與一般的變指數方程有很大的不同，其中含有的對數項具有超臨界的增長階，這給整個問題的研究帶來了很大的困難。在對這個問題的研究中，先對對數項做了細緻的估計，進而得到了關於弱解的一個反向Hölder不等式。然後，使用極大值函式及局部化方法對其弱解的梯度做出了Calderón-Zygmund型估計。(3)在變指數分數階Sobolev空間中，對一類具非局部運算元的方程進行了研究。當方程右端項L^1可積時，得到了方程重整化解的存在性及唯一性。(4)對一類具變指數增長的雙相變問題進行了研究。為了克服方程右端項臨界指數的存在，以及所用區域R^N的無界性等所帶來的(PS)序列在某些能量值c處非緊性的問題，首先建立了一類集中緊緻性原理，然後利用變分法得到了方程的一列非平凡弱解。
