《Heisenberg群上的Moser-Trudinger型不等式及其在次橢圓問題中的套用》是依託江蘇大學，由朱茂春擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：Heisenberg群上的Moser-Trudinger型不等式及其在次橢圓問題中的套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：朱茂春
- 依託單位：江蘇大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
M-T (Moser Trudinger)不等式在偏微分方程、幾何分析以及弦理論的研究中有著廣泛的套用，是泛函分析領域的研究熱點之一。本項目將重點關注Heisenberg群上M-T不等式的研究及其在次橢圓問題中的套用。.由於利用Heisenberg群上現有的M-T不等式不能得到具有指數臨界增長的次橢圓問題基態解的存在性，本項目將對現有的M-T不等式進行改進，即，將研究Heisenberg群上與M-T不等式相關的集中緊性原理和具有精確增長的M-T不等式，此外，將結合變分法和臨界點理論研究基態解的存在性等問題。.項目創新之處是：（1）在Heisenberg群上建立Talenti型比較原理，並用於研究M-T不等式；（2）將歐氏空間上橢圓問題基態解的存在性理論發展到次橢圓情形。.本項目的研究將有助於揭示Heisenberg群上M-T型不等式研究的一般規律，為相關次橢圓問題的進一步研究提供理論依據。
結題摘要
具有指數臨界增長的橢圓方程與電磁學、天文學和流體動力學等學科有著密切的聯繫，關於其的研究具有重要科學意義。本項目主要是使用變分法以及臨界點理論的相關工具研究了Sobolev嵌入的邊緣情形—Trudinger-Moser-Adams不等式相關問題以及極值函式存在性，並利用Trudinger-Moser不等式討論Heisenberg群上以及歐式空間上具有指數臨界增長的方程解的存在性。 具體說來，本項目主要做了以下幾方面的工作1.建立了Heisenberg群上上與Moser-Trudinger不等式相關的集中緊性原理，並利用該集中緊性原理用討論一類具有指數臨界增長的次橢圓問題基態解的存在性問題。2.討論了一類具有不連續係數的次橢圓方程組的正則性。我們證明了當係數不連續時，且非線性滿足超二次可控增長條件時，方程解的不光滑點是一個零測度集。3.研究了二階四維情形Adams不等式的極值函式的存在性和不存在性，並證明了若極值函式存在，則一定是徑向對稱的。該研究表明Adams泛函極值函式的存在性非常依賴於Adams泛函被積函式的第一項係數，此項研究完整的解決了一個超10年的公開問題；4.研究了一類有界區域上具有多項式臨界增長的雙拉普拉斯方程的多解性5.研究了全空間上一類含有常位勢或勢阱位勢的具有指數臨界增長的雙拉普拉斯方程非平凡解或基態解的存在性，該研究將已有的半經典問題做到了一般情形。在該研究中，我們得到了一個函式列緊的充分必要條件。6.研究了全空間上的一類改進型Trudinger-Moser 不等式及其極值函式問題，與已有的結果相比較，我們的結果更精確且更加普遍。7.得到了全空間上在Lorentz範數約束下的與Trudinger-Moser不等式相關的集中緊性原理8.得到了一類加權的具有指數臨界增長的N拉普拉斯方程非平凡正解的存在性，並得到了這類方程解的衰減估計9.證明了具有非局部項和部分約束的位勢的偏微分方程組的軌道穩定和解的存在性，研究表明在L2約束下的對應泛函有全局最小點
