橢圓型方程多解性和解的局部唯一性的研究

《橢圓型方程多解性和解的局部唯一性的研究》是依託華中師範大學，由彭雙階擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：橢圓型方程多解性和解的局部唯一性的研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：彭雙階
• 依託單位：華中師範大學

項目摘要

橢圓型偏微分方程和不同耦合方式下的方程組在無界區域或具有臨界指標情形下解的存在性或多解性一直是人們關注的熱點。本項目擬在非線性泛函分析的框架下，改進變分原理、拓撲方法、臨界群理論、非光滑分析和泛函分析的有關理論和方法，結合偏微分方程先驗估計和正則化理論，得到橢圓型問題及自由邊值問題解的存在性、多解性以及漸近性結果。. 橢圓性問題解的局部唯一性、周期性、對稱性結果很難在變分的抽象理論下得到。本項目擬建立偏微分方程的局部Pohozaev恆等式，並利用它得到解的局部唯一性結果，並由此獲得解的周期性等對稱性結果。本方法克服了傳統方法對泛函的光滑性、拓撲度方法的依賴性，更為基本、直接，更具一般性。

結題摘要

將非光滑問題、橢圓方程解的存在性問題、解的對稱性和唯一性等問題納入在局部Pohozaev恆等式這也個統一的框架之下來處理，不僅使得方法更簡潔明了，而且能得到用以前方法得不到的結果。特別是，該方法不需要變分泛函的高階光滑性、不需要解的能量估計、甚至不需要變分結構。利用該方法，本項目解決了多個著名數學家提出的公開問題。 對於擬線性Schrodinger方程，給出了此類問題臨界指標的定義，得到了該問題的無窮多個徑向對稱解。建立了對應的臨界指標問題正解的存在性和非存在性結果。針對非局部問題改進了徑向粘連法並得到了含有規範場Schrodinger方程的無窮多個變號行波解。針對非局部問題改進了徑向粘連法，將單個方程的非局部項問題轉化為一個系統，得到了其無窮多個變號解。在J.Math.Pures Appl. 、Proc.London.Math.Soc.、Tran. Amer. Math.Soc. 、J.Funct.Anal.、Calc.Var.Partial Equations、 J. Differential Equations等期刊上共發表研究論文21篇，應邀在《中國科學》上發表綜述論文一篇。在劍橋大學出版社出版專著《Singularly perturbed methods for elliptic equation》（已簽訂出版協定）。獲得國家級教學成果獎二等獎1項、湖北省高等學校教學成果獎一等獎2項。