強非線性橢圓問題

《強非線性橢圓問題》是依託蘭州大學，由趙培浩擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：強非線性橢圓問題
• 依託單位：蘭州大學
• 項目負責人：趙培浩
• 項目類別：面上項目

項目摘要

本課題藉助於非線性泛函分析的臨界點理論、拓撲度理論以及半序理論，結合橢圓方程的各種先驗估計和調和分析的若干技巧，研究具有強非線性的橢圓方程解的存在性、正則性、唯一性以及多重性、漸近性等基本性質。 強非線性是指具有邊界非線性,Sobolev臨界、超臨界指數增長的非線性,以及奇異非線性等,橢圓方程主要指拉普拉斯方程、p-拉普拉斯方程以及其他高階橢圓方程，也包括變指數橢圓方程。主要研究在邊界上滿足某種非線性條件的橢圓問題的變分解以及非變分解；研究涉臨界Sobolev指數的對稱橢圓問題具有正能量的無窮多解，以及在具有某種對稱性的區域上涉及超臨界Sobolev指數增長的橢圓問題的變分解；研究具有奇異非線性的橢圓問題解的存在性和漸近性等性質。

結題摘要

具有強非線性的橢圓問題是橢圓問題中最重要的部分.強非線性主要指邊界非線性、臨界和超臨界Sobolev指數非線性、非局部項以及自由邊界問題等。本項目研究了各種類型的帶有邊界非線性的橢圓問題的可解性和多解性，利用區域的某種對稱性研究了具有臨界和超臨界Sobolev指數的橢圓問題的多解性，研究了具有非局部項的各種橢圓問題，以及自由邊界問題的正則性等問題，得到了一系列結果。同時還研究了Lipschitz區域上的橢圓邊值問題。在本項目的研究中，我們綜合利用了變分方法、上下解方法、Morse理論以及拓撲方法、截斷技巧、疊代方法以及橢圓正則性理論和調和分析技巧，克服了強非線性對問題帶來的一些本質困難，我們的結果揭示了強非線性橢圓問題的某些特徵，推廣了已有的一些結果，豐富和發展了橢圓問題的相關理論。