二階非線性橢圓方程自適應有限元方法的多重格線算法

《二階非線性橢圓方程自適應有限元方法的多重格線算法》是依託煙臺大學，由畢春加擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：二階非線性橢圓方程自適應有限元方法的多重格線算法
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：畢春加
• 依託單位：煙臺大學

項目摘要

多重格線算法具有最優預處理和最優或擬最優計算複雜性等優點，能高效地求解自適應有限元離散方程組。對於線性微分方程，已經取得豐富的研究結果。由於離散方程組的非線性、非對稱性和相應變分問題的非正交性，非線性微分方程自適應有限元方法的多重格線算法的研究是一項具有挑戰性的工作，目前研究結果還非常少。. 本項目將研究兩類具有重要套用背景的二階非線性橢圓方程自適應有限元方法和自適應間斷有限元方法的多重格線算法。我們將設計簡單易算的多重格線預條件子，證明它們具有最優預處理和最優或擬最優計算複雜性，給出支持理論結果的數值實驗。本項目研究的算法是求解自適應有限元離散方程組的高性能算法，屬國際前沿課題，研究成果將進一步提升有限元方法在非線性微分方程中的套用水平。

結題摘要

本項目主要圍繞二階非線性問題的有限元方法、有限體積元方法、間斷有限元方法和兩層格線算法的後驗誤差估計和自適應方法展開研究。對於各種數值方法的後驗誤差估計，我們研究了二階強非線性橢圓問題的hp間斷Galerkin方法的後驗誤差估計、二階非線性橢圓問題有限體積元方法的後驗誤差估計、拋物問題有限體積元方法的後驗誤差估計、一般二階非線性橢圓問題兩層格線有限元方法的後驗誤差估計、係數最低正則性假設下二階非線性橢圓問題兩層格線有限元方法的後驗誤差估計、二階非線性拋物問題的有限體積元方法的後驗誤差估計、非線性橢圓問題兩層格線有限體積元方法的後驗誤差估計、二階拋物問題有限體積元方法的後驗誤差估計。 在後驗誤差估計的研究中，我們設計了簡單易算的誤差估計子，從理論上證明了它們的有效性與可靠性，並給出了支持理論結果的數值實驗。對於各種數值方法的先驗估計，我們主要研究了非線性Sobolev方程兩層格線有限元方法、非線性Sobolev方程兩層格線Crank-Nicolson有限元方法、四邊形格線上橢圓問題的混合Wilson有限體積法、非線性拋物型積分微分方程的兩層格線有限元方法、一維非線性拋物方程有限體積元方法的兩層格線算法。此外，我們還研究了奇異攝動對流擴散問題的流線擴散有限元方法的最優階誤差估計、磁流體動力學方程的二階無條件收斂性和能量穩定的線性化計算格式、磁流體力學方程無條件能量穩定投影格式的收斂性分析、磁流體力學方程無條件能量穩定和全解耦線性有限元離散格式。針對相場模型，我們研究了各向異性枝晶凝固相場模型、與流體動力學耦合的二元流體表面活性劑相場模型、各項異性Cahn–Hilliard模型的快速、無條件能量穩定的二階精度格式。在各種數值方法的先驗誤差估計中，我們得到了最優階的誤差估計。我們的研究成果有16篇論文被SCI收錄，至少有7篇論文發表在SCI二區期刊上。本項目的研究成果是自適應求解非線性橢圓方程的關鍵，研究成果將進一步提升非線性微分方程的數值求解。