斯蒂弗爾-惠特尼類

斯蒂弗爾-惠特尼類

斯蒂弗爾-惠特尼類(Stiefel-Whitney class)是一種相應於正交群O(n)的模2係數的示性類,它有很多基本性質,如:若ξ=η,則Wi(ξ)=Wi(η);若ε為平凡叢,則Wi(ε)=0,i>0,這是因為存在從ε到底空間為一個點的向量叢的映射;若ε為平凡叢,則Wi(ε⊕η)=Wi(η)。

基本介紹

  • 中文名:斯蒂弗爾-惠特尼類
  • 外文名:Stiefel-Whitney class
  • 所屬學科向量叢
  • 相關概念:正交群、示性類、線叢等
基本介紹,定義,具體定義,公理化定義,構造,歷史背景,性質,其他示性類,套用,切赫上同調,拓撲能帶論中的套用,

基本介紹

斯蒂弗爾-惠特尼類是一種相應於正交群O(n)的ℤ2係數的示性類。為了定義斯蒂弗爾-惠特尼類,先敘述一個定理:設h*是一種有乘積的上同調論,使得對於每個n≥1 ,有xn∈h(ℝP) 滿足:
1.h*(ℝP)=h*(Pt)[Xn]/xn
2.若i:ℝP→ℝP為包含映射,則i*xn+1=xn(h*(Pt)為h*下一點構成空間的上同調環),

定義

具體定義

給定向量叢p:E→B,纖維為ℝ,結構群G為實正交群O(n)。對應的配叢為p:Ek→B,纖維Fk斯蒂弗爾流形Vn,k
πi<n-k(Vn,k)=0
πn-k(Vn,k)=ℤ,n-k奇,或k=1
πn-k(Vn,k)=ℤ2,n-k偶
上同調類αk∈H(B;πn-k(Vn,k))模去2後,稱為向量叢E→B的第k斯蒂弗爾-惠特尼類,記為
wqn-q+1∈H(B;ℤ2),q=1,2,...,n
w0=1
多項式W(t)=w0+w1t+...+wqt+...+wnt
稱為向量叢的斯蒂弗爾-惠特尼多項式

公理化定義

對於以B為底空間的每個實向量叢ξ:E→B,存在唯一的上同調類wi(E)∈H(B;ℤ2)(0≤i≤n)滿足:
1.wi>dimE(E)=0;
2.自然性:對拉回f*(E),有wi(f*(E))=f*(wi(E)) ;
3.惠特尼求和公式:若E1與E2的底空間相同,wk(E1⨁E2)=∑i+j=kwi(E1)wj(E2),w0(E)=1;
4.非平凡條件:對ℝP上典範線叢γ1,w11)∈H(ℝP;ℤ2)非零。
它們稱為O(n)叢ξ的斯蒂弗爾-惠特尼類

構造

設wi(ξ)=ΦSqΦ(1)=ΦSqμ,其中Φ為托姆同構,Sq為斯廷羅德平方,則wi(ξ)為第i斯蒂弗爾-惠特尼類

歷史背景

1935年,斯蒂弗爾定義了光滑流形切叢的示性類,同年,惠特尼定義了單純復形球面叢的示性類。惠特尼乘積定理於1940,1941由惠特尼,於1948年由吳文俊提出。1966年,希策布魯赫給出了公理化定義。

性質

若ξ≅η ,則wi(ξ)=wj(η) 。
若ε為平凡叢,則wi(ε)=0,i>0,這是因為存在從ε到點上向量叢的叢射。
若ε為平凡叢,則wi(ε⨁η)=wi(η) 。
若ξ為有歐幾里得度量的ℝ向量叢,且有處處非零的截面,則wn(ξ)=0,若ξ有k個獨立的截面,則ξ=ε⨁ε,其中ε為k維平凡叢,從而wi(ξ)=wj(ε),所以wn-k+1(ξ)=wn-k+2(ξ)=...=wn(ξ)=0。
對於一個O(n)向量叢ξ,w(ξ)=1+w1(ξ)+w2(ξ)+...+wn(ξ)稱為ξ的全斯蒂弗爾-惠特尼類,於是由惠特尼乘積定理有惠特尼求和公式w(ξ⨁η)=w(ξ)w(η) 。
對於一個CW復形X,以X為底空間的向量叢ξ是很多的,當X=M為可微流形時,稱切叢τ(M)的斯蒂弗爾-惠特尼類為M的斯蒂弗爾-惠特尼類。對於流形M,若τ(M)為平凡叢,則稱M為可平行化的
流形M可定向,若且唯若其W1=0。
為ℝP上的典範線叢,則
這由示性類的定義立即可知。設
為n+1個
惠特尼和,其全空間中的每一個點可以表為
其中
是x在ℝP 中的像點,則存在一個叢映射
(ε′為一維平凡叢),
其中
內積。φ為同胚,因此
,從而有下列性質:
由於這個性質6與性質4,即得下列性質(斯蒂弗爾的一個定理):
w(ℝP)=1,若且唯若n=2-1(r≥0) 。
因此ℝP可平行化(即它的切叢為平凡叢),僅可能是ℝP,ℝP,ℝP,ℝP,ℝP,...。事實上,已經知道ℝP,ℝP,ℝP可以平行化,而ℝP,...不能平行化。此外,ℝP(m≥1) 上沒有截面,即沒有連續處處非零的向量場。

其他示性類

龐特里亞金類可視為係數為ℤ的斯蒂弗爾-惠特尼類,即對實向量叢E→B,有H(B;ℤ)→H(B;ℤ2),pi(E)↦w2i(E)。
對n階可定向實向量叢E→X,wn(E)=e(E)(mod 2)。
復向量叢ξ的陳多項式模2,可視為實向量叢rξ的斯蒂弗爾-惠特尼多項式,即w2k(rξ)=ck(ξ) mod 2。
wn為n維流形M的歐拉示性數模2。
即斯蒂弗爾-惠特尼類與龐特里亞金類決定了非定向實向量叢的所有示性類,而對於定向實向量叢,還有歐拉類。

套用

實向量叢可定向若且唯若w1=0。
流形可定向若且唯若其切叢可定向。
流形為自旋流形,若且唯若其切叢有自旋結構。
流形M1與M2積流形M1×M2的斯蒂弗爾-惠特尼多項式為w(t)=w(t)w(t),其中w(t)與w(t)分別為M1與M2的斯蒂弗爾-惠特尼多項式。
為n維實射影空間ℝP上的典範線叢,則
w(t)=1+w1(t),w1∈H(ℝP,ℤ2)≅ℤ2,w1≠0。
斯蒂弗爾-惠特尼類不能用叢的曲率表示。

切赫上同調

斯蒂弗爾-惠特尼類wr為於切赫上同調群H(X,ℤ2)取值的示性類
對正合列0→SOn→On→ℤ2→0,有第一斯蒂弗爾-惠特尼類w1:H(X,On)→H(X,ℤ2),則w1(P)=0若且唯若P為主SOn叢,即P為可定向向量叢。
對正合列
,有第二斯蒂弗爾-惠特尼類w2:H(X,SOn)→H(X,ℤ2),則w2(P)=0若且唯若P為主Spinn叢,即P為附有自旋結構的向量叢。
若P的表示為{𝓤,gαβ},且Uα⋂Uβ單連通,則可提升為
,於Uα⋂Uβ⋂Uγ定義wαβγ=
。由於ξ0(wαβγ)=1,故有wαβγ:Uα⋃Uβ⋃Uγ→ℤ2,則ℤ2上鍊表示w2(P)。

拓撲能帶論中的套用

拓撲ℤ2不變數可被視為普法夫線叢可定向性的阻礙,並以斯蒂弗爾-惠特尼類來刻畫。
若將π:Pf→𝕋視為實普法夫線叢,則其示性類為第一斯蒂弗爾-惠特尼類w∈H(𝕋,ℤ2)≅H(𝕊,ℤ2)≅ℤ2。且與Kane-Mele不變數的關係為ν=(-1)。
儘管會使用高階的斯蒂弗爾-惠特尼類,但對應的阻礙只有可定向性。

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