基本介紹
- 中文名：高等數學
- 外文名：Advanced/ Additional / Higher Mathematics
- 主要內容：極限、微積分等
- 套用領域：電氣工程、建築業、財經等
課程特點,歷史發展,
課程特點
通常認為，高等數學是由17世紀後微積分學，較深入的代數學、幾何學以及它們之間的交叉內容所形成的一門基礎學科。相對於初等數學和中等數學而言，學的數學較難，屬於大學教程，因此常稱“高等數學”，在課本常稱“微積分”，理工科的不同專業。文史科各類專業的學生，學的數學稍微淺一些，文史科的不同專業，深淺程度又各不相同。研究變數的是高等數學，可高等數學並不只研究變數。至於與“高等數學”相伴的課程通常有：線性代數（數學專業學高等代數），機率論與數理統計（有些數學專業分開學）。
三角函式
三角函式作為一門基礎科學，高等數學有其固有的特點，這就是高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的套用性。抽象性和計算性是數學最基本、最顯著的特點，有了高度抽象和統一，我們才能深入地揭示其本質規律，才能使之得到更廣泛的套用。嚴密的邏輯性是指在數學理論的歸納和整理中，無論是概念和表述，還是判斷和推理，都要運用邏輯的規則，遵循思維的規律。所以說，數學也是一種思想方法，學習數學的過程就是思維訓練的過程。人類社會的進步，與數學這門科學的廣泛套用是分不開的。尤其是到了現代，電子計和腳算機的出現和普及使得數學的套用領域更加拓寬，現代數學正成為科技發展的強大動力，同時也廣泛和深入地滲透到了社會科學領域。
變數與函式的研究
變數與函式的研究歷史發展
1691年，法國數學家米歇爾·羅爾提出羅爾定理，對代數學的發展起了重要作用，是微分學中的幾個中值定理之一，是導數套用的理論基礎。另一名法國數學家拉格朗建立微分學中的幾個中值定理之一，彌補了羅爾定理中的不足條件，並建立拉格朗日乘法。法國數學家洛必達在1696年建立洛必達法則，並發表了著作《闡明曲線的無窮小於分析》，它是嫌永凶微積分學方面最早的教科書，洛必達法則是對柯西中值定理結合未定式極限推出的一種求導方法，實現了簡便實用的數學原則。
德國數學家萊布尼茨和英國科學家牛頓先後獨立建立了微積分，牛頓建立了圍繞萬有引力定律的相關數學公式，萊布尼茨在級數收斂性質中提出了萊布尼茨判別法。瑞士科學家伯努利1738年的著作《流體動力學》提出了“流速增加、壓譽她船茅強降低”的伯努利原理，寫出了流體力學的方程，稱之為伯努利方程。
19世紀以前確立的幾何、代數、分析三大數學分支中，前兩個都原是初等數學的分支，其後又發展了屬於高等數學的部分，而只有分析從一開始就屬於高等數學。分析的基礎——微積分被認為是“變數的數學”的開始，因此，研究變數是高等數學的兵晚台組特徵之一。原始的變數概念是物質世界變化的諸量的直接抽象，現代數學中變數的概念包含了更高層次的抽象。如數學分析中研究的限於實變數，而其他數學分支所研究的還有取複數值的復變數和向量、張量形式的，烏備兆以及各種幾何量、代數量，還有取值具有偶然性的隨機變數、模糊變數和變化的（機率）空間——範疇和隨機過程。描述變數間依賴關係的概念由函式發展到泛函、變換以至於函子。與初等數學一樣，高等數學也研究空間形式，只不過它具有更高層次的抽象性，並反映變化的特徵，或者說是在變化中研究它。例如，曲線、曲面的概念已發展成一般的流形。按照埃爾朗根綱領，幾何是關於圖形在某種變換群下不變性質的理論，這也就斷嬸循是說，幾何是將各種空間形式置於變換之下來來研究的。
無窮進入數學，這是高等數學的又一特徵。現實世界的各種事物都以有限的形式出現，無窮是對他們的共同本質的一種概括。所以，無窮進入數學是數學高度理論化、抽象化的反映。數學中的無窮以潛無窮和實無窮兩種形式出現。在極限過程中，變數的變化是無止境的，屬於潛無窮的形式。而極限值的存在又反映了實無窮過程。最基本的極限過程是數列和函式的極限。數學分析以它為基礎，建立了刻畫函式局部和總體特徵的各種概念和有關理論，初步成功地描述了現實世界中的非均勻變化和運動。另外一些形式上更為抽象的極限過程，在別的數學學科中也都起著基本的作用。還有許多學科的研究對象本身就是無窮多的個體，也就說是無窮集合，例如群、環、域之類及各種抽象空間。這是數學中的實無窮。能夠處理這類無窮集合，是數學水平與能力提高的表現。為了處理這類無窮集合，數學中引進了各種結構，如代數結構、序結構和拓撲結構。另外還有一種度量結構，如抽象空間中的範數、距離和測度等，它使得個體之間的關係定量化、數位化，成為數學的定性描述和定量計算兩方面的橋樑。上述結構使得這些無窮集合具有豐富的內涵，能夠彼此區分，並由此形成了眾多的數學學科。
寫滿公式的紙
寫滿公式的紙無窮進入數學，這是高等數學的又一特徵。現實世界的各種事物都以有限的形式出現，無窮是對他們的共同本質的一種概括。所以，無窮進入數學是數學高度理論化、抽象化的反映。數學中的無窮以潛無窮和實無窮兩種形式出現。在極限過程中，變數的變化是無止境的，屬於潛無窮的形式。而極限值的存在又反映了實無窮過程。最基本的極限過程是數列和函式的極限。數學分析以它為基礎，建立了刻畫函式局部和總體特徵的各種概念和有關理論，初步成功地描述了現實世界中的非均勻變化和運動。另外一些形式上更為抽象的極限過程，在別的數學學科中也都起著基本的作用。還有許多學科的研究對象本身就是無窮多的個體，也就說是無窮集合，例如群、環、域之類及各種抽象空間。這是數學中的實無窮。能夠處理這類無窮集合，是數學水平與能力提高的表現。為了處理這類無窮集合，數學中引進了各種結構，如代數結構、序結構和拓撲結構。另外還有一種度量結構，如抽象空間中的範數、距離和測度等，它使得個體之間的關係定量化、數位化，成為數學的定性描述和定量計算兩方面的橋樑。上述結構使得這些無窮集合具有豐富的內涵，能夠彼此區分，並由此形成了眾多的數學學科。寫滿公式的紙
寫滿公式的紙