退化拋物方程(在某些點退化的拋物型方程)

數學真正意義上研究退化和奇異拋物偏微分方程是近些年才開始的，起源於60年代中葉DeGiorgi，Moser，Ladyzenskajia和Ural’tzeva這些人的工作。退化拋物方程是近些年來該領域的進展的綜述，其基本思想來自上個世紀90年代作者在波恩大學的Lipschitz講義。

基本介紹

• 中文名：退化拋物方程
• 外文名：degenerate parabolic equations
• 適用範圍：數理科學

定義

數學真正意義上研究退化和奇異拋物偏微分方程是近些年才開始的，起源於60年代中葉DeGiorgi，Moser，Ladyzenskajia和Ural’tzeva這些人的工作。

退化拋物方程是在某些點退化的拋物型方程。

一個線性拋物型方程可寫成如下形式：

其中，運算元 的主部 滿足橢圓型條件。

如果在所討論的區域中的某些點上 a(x,t)=0 或者運算元 退化（見退化橢圓方程），就稱該方程為退化拋物方程。

舉例

非線性退化拋物型方程的一個典型例子是多孔介質方程

它在 u=0 處退化。

辨析

退化拋物型方程與非退化拋物型方程的性質有許多重要的差別。

例如，非退化的拋物型方程具有擾動無限傳播性質 (infinite propagation property)，而退化拋物型方程可能具有擾動的有限傳播性質 (finite propagation property)。

相關概念

函式空間

數學中，函式空間指的是從集合X 到集合 Y 的給定種類的函式的集合。其叫做空間的原因是在很多套用中，它是拓撲空間或向量空間或這二者。經典分析學研究中出現了許多重要的函式空間。對一些類型的函式空間，現已取得相當豐富的理論成就。

弱解

數學中，微分方程的弱解或廣義解是指對該方程中的微分可能不存在，但是在某種精確定義的意義下滿足該方程的解。對於不同種類的微分方程，弱解的定義性質也可能不同。 一類最重要的弱解基於廣義函式的記號。

退化

在數學中，退化是指在一個在一個限制的情況下，一個集合中的對象改變其性質並且屬於另一個集合，通常是變成比較簡單的集合，例如，一個三角形是一個平面集合的一個對象，但是若改變其性質將單一內角改為180度使其邊皆重合，則它就屬於線段集合的一個對象，且線段這個集合比平面還要簡單，因為它少一個維度，我們就會稱此多邊形退化了。