數學物理中的兩類反應擴散模型

《數學物理中的兩類反應擴散模型》是依託北京化工大學，由邊慎擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：數學物理中的兩類反應擴散模型
• 依託單位：北京化工大學
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：邊慎

項目摘要

本項目擬研究生物數學中的兩類動力學模型，一類是生物趨藥模型(Keller-Segel模型)，主要研究一類退化的拋物橢圓耦合方程解的全局存在與有限時刻爆破，擬找到解的全局存在與有限時刻爆破的初始臨界值，另一方面，擬分析方程解在爆破點附近的漸近行為。本項目的另一內容是研究種群動力學的Fisher KPP模型，對於不同類型的Fisher KPP模型，希望找到解的全局存在與有限時刻爆破時參數所滿足的條件。

結題摘要

趨藥性指的是細胞隨著周圍環境中化學物質濃度改變自己運動方向的一種機制。自然界中很多生物都具有趨藥性，比如變形蟲形成多細胞生物的過程、腫瘤的形成、細菌在土壤中靠著鞭毛移動等，這類模型有著共同的數學結構特徵：自由擴散和趨藥性聚集的競爭機制，因此解的全局存在與有限時間爆破成為方程研究的基本問題。另一方面，種群動力學主要研究種群演變情況，種群自身繁殖以及種群與周圍資源消耗之間的關係。非局部非線性項反應了種群消耗周圍資源的狀態，同時也關鍵性地決定了種群動力學方程解的性態。本項目主要研究生物數學中的兩類動力學模型，一類是生物趨藥性模型，本項目將生物消耗周圍資源和自我繁殖增長過程考慮進去，研究帶非局部非線性logistic增長、非線性交叉擴散方程動態解和穩態解的性質，證明了解的全局存在性，對方程解的長時間漸近行為進行了估計，並對解的有限時刻爆破做了分析。另一類是描述種群動力學中的Fisher-KPP模型,研究種群動力學中非局部非線性項對解的行為的影響，得到了和經典Fujita方程完全相反的結果，從而驗證了非局部非線性指標對解的全局存在和有限時間爆破的臨界作用，這部分結果不僅在數學上完備化這類模型的理論，還對數值模擬起到指導作用。項目執行期間，項目組成員已在國際著名期刊上發表SCI論文5篇。在此基礎上，項目負責人成功申請到德國洪堡基金資助，作為洪堡學者赴德訪問，在德期間培養1名碩士生。