代數K理論(代數學分支)

代數K理論是代數學的一個分支。它的起源可追溯到1958年格羅騰迪克（Grothendieck，A.)關於廣義黎曼-羅赫定理的研究。這個學科的第一本專著是 1968年由巴斯（Bass,H.)完成的。

基本介紹

• 中文名：代數K理論
• 外文名：algebraic K-theory
• 所屬學科：K理論
• 研究範疇：阿貝爾群範疇的一系列函子
• 發現時間 ：1958年

概念解釋

代數K理論主要研究環範疇到與作用，其中最基本的是K₀與，代數K理論與幾何拓撲、拓撲K理論、代數幾何、典型群、代數數論等學科都有著 密切的翻懂才聯繫。在一定的意義上來說，它又是線性代數中空間的維數、行列式以及同調代數的更高層次的發展。

K0函子

K0函子定義

設R為麼環，ProjR為R上有限生成投射模同構類的半群，則K₀(R)為ProjR的格羅滕迪克群。K₀為函子。

K0函子性質

1.K₀為連續函子，即保持歸納極限。

2.若R為除環，則ProjR同構於，而K₀(R)同構於。

3.若R為交換麼環，則K₀(R)對於張量積而言是交換麼環。

4.R上可數生成投射模同構類的交換么半群的格羅滕迪克群平凡。

5.森田不變性。對任意正整數n，都有自然同構。

6.對乃匪店葛任意環R，ProjR相當於冪等矩陣的集合Idem(R)上GL(R)的共軛軌道。

相對K0群

切除定理：設I為環R的雙邊理想，則。

K1函子

K1函子定義

設R為麼環，E(R)為n維初等矩陣(對角元為1，且最多一個非對角元非零的矩陣)生成的GL(R)的子群。則K₁(R)=GL(R)/E(R)。

等價定義為K₁(R)=GL(R)/[GL(R),GL(R)]，即懷特黑德群。

K1函子性質

K₁為函子。

森田不變性：對任意正整數n，都有自然同構。

K2函子

K2函子定義

設R為麼環，St(R)為施坦貝格群。則K₂(R)=ker(St(R)→E(R))。K₂為函子。

K2函子性質

森田不變性。對任意正整數n，都有自然同構。

學科發展

代數K理論主要介紹K₀,K₁,K₂函子及相關的內說駝棄容。對，，現已有多種定義，其擊民悼中最著名的是奎倫（Quillen, D. G.)於1970年定義的。 更進一步葛再只地，對i為任意整數，研究函子，這些內容可查閱有關文獻。下面，凡提到模（即環模）均指左環模，塞爾（Serre，J. P.)於1955年證明：一個棄船仿射簇上的向量叢範疇與這個仿射簇之坐標環上的有限生成投射模範疇等價。斯萬（Swan，R. G.)於1962 年又將此結果推虹舟墓擔廣到緊緻的豪斯多夫空間，從而給出了拓撲K理論與代數K理論的一個緊密的聯繫，大大推動了代數K理論的發展。