Mellin變換

Mellin 變換是一種以冪函式為核的積分變換。Mellin 變換有許多套用，例如可以證明黎曼ζ函式的函式方程。

在數學中，梅林變換是一種積分變換，可以被視為雙邊拉普拉斯變換的乘法版本。這個積分變換與Dirichlet級數理論密切相關，常用於數論，數理統計和漸近展開理論； 它與拉普拉斯變換和傅立葉變換以及伽馬函式理論和聯合特殊函式密切相關。

基本介紹

• 中文名：Mellin變換
• 外文名：Mellin transform
• 性質：以冪函式為核的積分變換
• 相關：拉普拉斯變換和傅立葉變換
• 套用：數論，數理統計和漸近展開理論
• 學科：統計學

數學定義

函式f的梅林變換是：

逆變換是 ：

這是在複平面上的垂直線上的線積分。在Mellin反演定理中給出了這種反演有效的條件。這個轉換以芬蘭數學家Hjalmar Mellin命名。

與其他變換的關係

雙邊拉普拉斯變換可以通過梅林變換來定義：

相反，我們可以從雙邊拉普拉斯變換中得到梅林變換：

我們也可以用梅林變換定義傅立葉變換，反之亦然。就梅林變換和上面定義的雙邊拉普拉斯變換而言：

反過來我們也可獲得：

梅林變換還通過泊松 - 梅林 - 牛頓循環將牛頓級數或二項式變換與泊松生成函式連線在一起。梅林變換也可以看作是Gelfand變換的卷積代數的局部緊湊阿貝爾正實數乘法。

Cahen-Mellin積分

對於 ， 和 在主要分支，一個

其中 是伽馬函式。這個積分被稱為Cahen-Mellin積分。

數論

數論中的一個重要套用是簡單的函式：

因此， 假設

在機率論中

在機率論中，梅林變換是研究隨機變數乘積分布的必要工具。如果X是一個隨機變數，和 表示其正面部分，而 是其負部分，則梅林變換的X被定義為：

其中 滿足 。

機率論的梅林變換的重要性在於，如果X和Y是兩個獨立的隨機變數，然後X、Y的梅林變換的結果是X和Y的梅林變換的乘積：

套用

梅林變換由於其尺度不變性而被廣泛用於計算機科學分析算法。縮放函式的Mellin變換的幅度與純虛數輸入的原始函式的幅度相同。這種尺度不變性屬性類似於傅立葉變換的平移不變性。時移函式的傅立葉變換的幅度與原函式的傅立葉變換的幅度相同。

這個屬性在圖像識別中很有用。當物體朝向或遠離相機移動時，物體的圖像很容易被縮放。

在量子力學尤其是量子場論中，傅立葉空間是非常有用的，並且由於動量和位置是彼此的傅立葉變換（例如，在動量空間中更容易計算費曼圖），所以被廣泛使用。2011年，A. Liam Fitzpatrick，Jared Kaplan，JoãoPenedones，Suvrat Raju和Balt C. van Rees證明Mellin空間在AdS / CFT通信中起著類似的作用。