《函式空間上Toeplitz運算元的交換性和乘積問題的研究》是依託東北師範大學，由孔令輝擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：函式空間上Toeplitz運算元的交換性和乘積問題的研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：孔令輝
- 依託單位：東北師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
Hardy空間、Bergman空間上的Toeplitz運算元理論的研究在過去幾十年里取得了巨大發展。近些年，由於理論和實際問題的需要，Fock空間和調和Bergman空間上的運算元理論正成為人們的研究熱點。Toeplitz運算元的交換性及乘積問題是其代數性質的重要體現，因此一直是Toeplitz運算元理論研究中的一個重點。與Hardy/Bergman空間相比較，由於Fock空間和調和Bergman空間的函式理論更複雜，因此其上Toeplitz運算元的交換性及乘積問題更有難度。本課題擬以Fock空間及調和Bergman空間上的Toeplitz運算元為研究對象，利用Berezin變換、Laplace運算元、Mellin變換等工具研究其有限秩乘積問題以及交換性問題，揭示Toeplitz運算元的性質和它的符號函式特性之間的關係。這些問題的研究將進一步豐富和完善函式空間上的Toeplitz運算元理論。
結題摘要
函式空間上的運算元理論是泛函分析的一個重要分支。特別是Hardy空間、Bergman空間等解析函式空間上的Toeplitz運算元理論更是人們非常重視的課題。而除了解析函式空間，另一類值得關注的函式空間是調和函式空間。調和函式作為Laplace方程的解，在數學、物理和工程等許多領域都扮演著重要的角色。1992年，S. Axler, P. Bourdon和W. Ramey系統地講述了調和函式理論，並引入了調和Hardy空間和調和Bergman空間的概念。在此之後，調和函式空間特別是調和Bergman空間及其上的運算元理論開始被廣泛研究並繁榮起來。然而兩個調和函式的乘積不再是調和函式(除去某些平凡情形)的事實給調和Bergman空間及其上的運算元理論研究增添了許多困難，許多在解析Bergman空間中可行的方法在這裡失去了作用，這使得調和Bergman空間及其上的運算元理論的研究並不如人們預期那樣迅速發展。本項目以調和Bergman空間上的Toeplitz運算元為研究對象，利用Bergman投影、再生核、Mellin變換等工具研究其有限秩乘積問題以及交換性問題。首先，我們研究了單圓盤調和Bergman空間上Toeplitz運算元的交換性及半交換性，證明了在某些約束條件下，兩個Toeplitz運算元只在平凡情形下可交換；此外，如果具有解析函式符號，兩個Toeplitz運算元半交換若且唯若它們的符號函式中至少有一個是常值的。其次，我們研究了單位球多重調和Bergman空間上的Toeplitz運算元，對於符號函式是某種分別徑向函式或者全純多項式的Toeplitz運算元，描述了與之交換的Toeplitz運算元；對於若干Toeplitz運算元的有限秩乘積問題，如果（除去至多一個）符號函式都是分別徑向的，則該乘積必然是零。我們的結論深刻揭示了Toeplitz運算元的性質和它的符號函式特性之間的關係。這些問題的研究進一步豐富和完善了函式空間上的Toeplitz運算元理論。
