《非交換調和分析與非交換鞅中的Hardy型空間研究》是依託中國科學院精密測量科學與技術創新研究院，由陳澤乾擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：非交換調和分析與非交換鞅中的Hardy型空間研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：陳澤乾
- 依託單位：中國科學院精密測量科學與技術創新研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
Hardy型空間是現代分析數學中的一個重要研究對象，在調和分析和鞅論中有重要的作用，如H1-BMO對偶性和各類鞅不等式。這方面的許多結果在最近二十多年裡被推廣到非交換情形。該項目繼續開展這方面的研究工作。我們擬研究：（1）非交換鞅的Burkholder不等式和Doob不等式的矩量情形；（2）非交換Hardy空間上的運算元理論，如Toeplitz運算元、Hankel運算元和複合運算元等；（3）運算元值Orlicz-Hardy空間的刻畫問題，主要是它們的面積刻畫和Littlewood-Paley理論等問題；（4）量子環面上的調和分析，主要是量子環面上Fourier級數的各種加權收斂性和Fourier乘子的完全有界性刻畫等問題。該項目的另一個目的是套用非交換分析理論的結果和方法研究量子信息的相關問題。
結題摘要
非交換調和分析與非交換鞅論屬於非交換分析數學的範疇，它們源於量子力學的數學基礎研究。現代非交換調和分析是由 Xu (許全華) 與 Junge 和 Le Merdy 在2006年開始系統研究的，他們發展了非交換 Littlewood-Paley-Stein 理論，特別是研究了完全有界的 H\infty 函式演算理論及其與量子 Markov 半群的聯繫。非交換鞅論的研究雖然早在1970年代就有一些研究但一直停滯不前，直到 1997 年 Pisier 和 Xu (許全華) 取得重大的突破。他們發現，非交換 Hardy 鞅空間的實變理論必須由列均方函式與行均方函式兩部分的有機結合構成。本項目在這些工作基礎上研究了量子環面上的調和分析、非交換鞅相應於凸函式的基本不等式、Bergman 空間的實變理論等，獲得了如下主要結果：（1）證明了量子環面上 Fejer 平均、方形和圓形 Poisson 平均以及 Bocher-Riesz 平均的極大不等式；證明了量子環面上的 Lp 完全有界乘子等同於經典環面上的 Lp 完全有界乘子；證明了量子環面上相應於圓形 Poisson 半群的 Hardy 空間和 BMO 空間理論仍然成立，這包括 H1-BMO 對偶性定理和內插定理。（2）證明了相應於凸函式的非交換 Doob 不等式、非交換 Dunford-Schwartz 極大遍歷不等式以及非交換 Stein 極大遍歷不等式。（3）給出了復球上 Bergamn 空間具有緊支撐集的原子分解的構造性證明，我們的方法對於 p＜1 也成立，因此完整地給出了復球上 Bergman 空間對所有 p＜=1 的實變型原子分解。發表論文8篇，接受1篇；指導博士研究生2名和碩士生1名畢業；多次參加泛函分析與數學物理方面的會議並作邀請報告。
