《變指數鞅空間及其套用》是依託武漢大學，由劉培德擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：變指數鞅空間及其套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：劉培德
- 依託單位：武漢大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
近年來變指數函式空間在微分方程、調和分析等領域得到越來越多重視。它既擴展了經典理論的範圍，又有明顯的套用背景。但在與之緊密聯繫的鞅論中，相關研究幾為空白。原因是確有幾大障礙現有方法無法逾越。現在我們初步找到了它的癥結，本項目就是為了進一步開發解決這些問題的方法，建立變指數鞅空間及Orlicz-Musielak鞅空間的相應理論。我們將著重研究以下內容：（1）變指數鞅空間與Orlicz-Musielak鞅空間的基本屬性，建立適用於該類空間的基本不等式。（2）鞅論中一系列著名不等式在該類空間成立的條件及一般次線性運算元的有界性。（3）原子分解的存在性與共軛空間的表現。（4）探討鞅空間與運算元的內插，加權不等式及其在調和分析中的套用。（5）對於B值鞅與非交換鞅做類似的考察。本項目是我們以往研究工作的繼續，但所用工具既與函式空間不同，也與經典鞅論不同，必須開闢新的渠道。該項研究將掀開鞅空間理論新的一章。
結題摘要
變指數函式空間近年來受到理論和套用方面的廣泛重視，它在調和分析、函式空間、微分方程等領域的迅猛發展形成了一股熱潮，在非線性彈性力學、非牛頓流體力學、電流學、圖像恢復等實踐領域套用的研究不斷加深。相比起來與之有著緊密聯繫的變指數鞅空間理論卻是成果了了。這是因為兩者底空間基本結構的差異造成的。事實上變指數空間理論最擅長處理的是與具有非標準局部增長條件相聯繫的各種問題，那么在隨機過程與金融數學等領域類似的問題大量存在，這就會用到機率空間上的變指數空間理論，特別是變指數鞅論。本項目就是在這樣的背景下提出來的。該項研究的主要目的就是首先得到經典理論在變指數鞅空間的類比。包括空間的基本屬性，基本不等式，變指數鞅空間相互之間的關係以及鞅空間上次線性運算元的有界性，空間的加權、內插、共軛等。然後展開對於某些更專門問題的研究。經過幾年來的努力，本項目得到了幾項基本的和重要的成果：我們首先得到了條件期望的點態的Holder不等式和廣義Holder不等式並且給出了在變指數空間鞅的按範數收斂的若干等價條件; 通過推廣關於隨機序列的 Dellacherie 引理到變指數情況，證明了在經典鞅論中若干重要不等式在變指數情況的類比，包括著名的Burkholder-Gundy-Davis 不等式，凸性引理，Chevarie 不等式以及兩類被可料控制的鞅空間的等價性；在正則 σ-代數流的情況下證明了通常遇到的五類鞅空間的等價性。 我們還精確化了弱型 Doob 極大不等式，探討了強型 Doob 極大不等式的若干變種成立的條件。此外，對於非交換擬鞅（常指數）給出了它的幾種形式的不等式，若干類型空間的相互嵌入、內插及其共軛空間。 以上成果為變指數鞅空間理論提供了一些新的基本工具和通道，是變指數鞅空間理論的一個突破。當然這僅僅是一個開端，期望有更多更深入的工作出來。
