佩龍公式

在數學或更具體地，其分支解析數論中，佩龍公式源自奧斯卡·佩龍，是利用逆Mellin 變換來計算算術函式的和。

基本介紹

• 中文名：佩龍公式
• 學科：數學

定理陳述

令 {a(n)} 為一算術函式，並令

為其對應的狄利克雷級數。假設這狄利克雷級數對一致收斂，那么佩龍公式為：

此處求和符號上的一撇表示當x是整數時，和式中最後一項要乘以1/2。這個積分不是收斂的勒貝格積分，應當理解為柯西主值。這個公式要求c> 0,c> σ 和實數x> 0，但除以上條件以外別無限制。

證明

用阿貝爾求和公式可以得到一個簡單的證明梗概：

這不過是在變數代換{\displaystyle x=e^{t}}下的拉普拉斯變換，運用拉普拉斯變換的反轉公式就能得到佩龍公式。

例子

由於和狄利克雷級數的關係，佩龍公式常被用於解析數論中的求和。例如我們對黎曼ζ函式有如下的著名積分表示：

對於狄利克雷L函式也有類似的公式：

其中

和 是狄利克雷特徵。