狄利克雷L函式，又稱對應於模q的特徵Ⅹ(n)的狄利克雷L函式。
基本介紹
- 中文名：狄利克雷L函式
- 意義：狄利克雷級數
- 性質：復變數函式
- 分類：數學
狄利克雷L函式,正文,配圖,零點,
狄利克雷L函式
在數學中，狄利克雷L函式是狄利克雷級數的特例，它是形如下式的復變數函式
在此 χ 是一個狄利克雷特徵， S∈￠的實部大於一。此函式可解析延拓為整個複平面上的亞純函式。
約翰·彼得·狄利克雷證明對所有 χ 俱有L （1，X)≠0，並藉此證明狄利克雷定理。若 χ 是主特徵，則 L(s,χ) 在 s = 1 有單極點。
正文
又稱對應於模q的特徵Ⅹ(n)的狄利克雷L函式, 即函式，其中q≥1,Ⅹ(n)是模q的一個特徵,復變數s=σ+it,σ>1。它在q=1時就是黎曼ζ函式。這類函式最初是由P.G.L.狄利克雷在研究算術級數中的素數分布問題時引進的。它的性質和作用,都與黎曼ζ函式類似，在許多數論問題中有重要套用。它的主要性質有：
① 當σ>1時，，式中表示對全體素數求積。因而L(s,Ⅹ)≠0 (σ>1)。
② 當Ⅹ0是模q的主特徵時，於是，通過ζ(s)就把L(s,Ⅹ0)解析開拓到全平面。
③ 當Ⅹ是模q的非主特徵時,一定存在惟一的一個模q*，使當σ>1時，有 ④ 當Ⅹ是模q的原特徵時,L(s,Ⅹ)可解析開拓為整函式，且滿足函式方程
① 當σ>1時，，式中表示對全體素數求積。因而L(s,Ⅹ)≠0 (σ>1)。
② 當Ⅹ0是模q的主特徵時，於是，通過ζ(s)就把L(s,Ⅹ0)解析開拓到全平面。
③ 當Ⅹ是模q的非主特徵時,一定存在惟一的一個模q*，使當σ>1時，有 ④ 當Ⅹ是模q的原特徵時,L(s,Ⅹ)可解析開拓為整函式，且滿足函式方程
，
式中τ(Ⅹ)為僅與Ⅹ有關的常數，且滿足塣表Ⅹ的共軛特徵,即
⑤ 對任意的模q的特徵Ⅹ，有L(1,Ⅹ)≠0。
⑥設Ⅹ是模q的原特徵，那么s=-(2n+α(Ⅹ))(n=0,1,2,…)是L(s,Ⅹ)的一級零點,稱為“無聊零點”；L(s,Ⅹ)可能有的其他零點（稱為“非無聊零點”）一定都位於帶形區域0≤σ≤1中;L(s,Ⅹ)確有無窮多個非無聊零點。
⑦ 設T>0，以N(T，Ⅹ)表L(s,Ⅹ)在區域0≤σ≤1，|t|≤T中的零點個數。因此，當Ⅹ 是模q的原特徵和T≥2時，有
⑧ 設T>0,，以N(α，T，Ⅹ)表L(s，Ⅹ)在區域α≤σ≤1,|t|≤T中的零點個數。再設，其中Σ表對模q的所有特徵求和。因此，當T≥2時，有。此結果已被改進和推廣，通常稱之為L函式的零點密度定理。
⑨ 在直線σ=1上，L(s,Ⅹ)≠0。由此，對任意固定的q，可推出算術級數中的素數定理。
⑩ 存在絕對正常數X1，使得對任意固定的模q,在所有的函式L(s,Ⅹ)(Ⅹ modq)中,僅可能除去一個例外函式外,均在區域內無零點。如果這樣的例外函式L(s,塣)存在,那么塣一定是模q的實的非主特徵，且L(s,塣) 在上述區域內只有一個一級實零點戓 。這一性質是狄利克雷L函式與黎曼ζ函式的一個主要差別。研究對應於實特徵的L函式的實零點，是L函式論的最重要問題之一。
? A. 佩奇於1935年證明了：存在絕對正常數X2，使得對任意的實原特徵Ⅹ modq，q≥3，必有L(1,Ⅹ)≥X2q-1/2。由此可推出，存在絕對正常數X3，使得對任意的實特徵 Ⅹ modq，q≥3，當時，L(σ,Ⅹ)≠0。
? C.L.西格爾於1936年證明了：對任給的正數ε，存在正常數c3(ε)，使得對任意的實原特徵Ⅹmodq,q≥3，必有。由此推出,對任給正數ε，必有正常數c4(ε)，使得對任意的實特徵 Ⅹ modq，q≥3，當時，L(σ,Ⅹ)≠0。
C. L. 西格爾的結果雖然優於A. 佩奇的結果,但是常數X3(ε)和X4(ε)至今沒有辦法計算出來。
從性質⑩、?、?可推得有餘項估計的算術級數中的素數定理（見素數分布）。類似於黎曼假設，有所謂廣義黎曼假設,即猜測所有的狄利克雷L函式的非無聊零點都位於直線σ=1/2上，通常簡記作GRH。大量的數值計算以及理論上的探討都支持這一假設，但它至今還沒有被證明或否定。從GRH可推出一系列重要的數論結果,雖然都是一些假設性的結果（其中有的已被無條件地證明了），但是卻指出了研究L函式零點的重要意義和方向。
參考書目
K.Prachar,Primzahlverteilung,Springer-Verlag, Berlin,1957.
H.Davenport,Multiplicative Number Theory,2nd ed.,Springer-Verlag, Berlin, 1980.
⑤ 對任意的模q的特徵Ⅹ，有L(1,Ⅹ)≠0。
⑥設Ⅹ是模q的原特徵，那么s=-(2n+α(Ⅹ))(n=0,1,2,…)是L(s,Ⅹ)的一級零點,稱為“無聊零點”；L(s,Ⅹ)可能有的其他零點（稱為“非無聊零點”）一定都位於帶形區域0≤σ≤1中;L(s,Ⅹ)確有無窮多個非無聊零點。
⑦ 設T>0，以N(T，Ⅹ)表L(s,Ⅹ)在區域0≤σ≤1，|t|≤T中的零點個數。因此，當Ⅹ 是模q的原特徵和T≥2時，有
⑧ 設T>0,，以N(α，T，Ⅹ)表L(s，Ⅹ)在區域α≤σ≤1,|t|≤T中的零點個數。再設，其中Σ表對模q的所有特徵求和。因此，當T≥2時，有。此結果已被改進和推廣，通常稱之為L函式的零點密度定理。
⑨ 在直線σ=1上，L(s,Ⅹ)≠0。由此，對任意固定的q，可推出算術級數中的素數定理。
⑩ 存在絕對正常數X1，使得對任意固定的模q,在所有的函式L(s,Ⅹ)(Ⅹ modq)中,僅可能除去一個例外函式外,均在區域內無零點。如果這樣的例外函式L(s,塣)存在,那么塣一定是模q的實的非主特徵，且L(s,塣) 在上述區域內只有一個一級實零點戓 。這一性質是狄利克雷L函式與黎曼ζ函式的一個主要差別。研究對應於實特徵的L函式的實零點，是L函式論的最重要問題之一。
? A. 佩奇於1935年證明了：存在絕對正常數X2，使得對任意的實原特徵Ⅹ modq，q≥3，必有L(1,Ⅹ)≥X2q-1/2。由此可推出，存在絕對正常數X3，使得對任意的實特徵 Ⅹ modq，q≥3，當時，L(σ,Ⅹ)≠0。
? C.L.西格爾於1936年證明了：對任給的正數ε，存在正常數c3(ε)，使得對任意的實原特徵Ⅹmodq,q≥3，必有。由此推出,對任給正數ε，必有正常數c4(ε)，使得對任意的實特徵 Ⅹ modq，q≥3，當時，L(σ,Ⅹ)≠0。
C. L. 西格爾的結果雖然優於A. 佩奇的結果,但是常數X3(ε)和X4(ε)至今沒有辦法計算出來。
從性質⑩、?、?可推得有餘項估計的算術級數中的素數定理（見素數分布）。類似於黎曼假設，有所謂廣義黎曼假設,即猜測所有的狄利克雷L函式的非無聊零點都位於直線σ=1/2上，通常簡記作GRH。大量的數值計算以及理論上的探討都支持這一假設，但它至今還沒有被證明或否定。從GRH可推出一系列重要的數論結果,雖然都是一些假設性的結果（其中有的已被無條件地證明了），但是卻指出了研究L函式零點的重要意義和方向。
參考書目
K.Prachar,Primzahlverteilung,Springer-Verlag, Berlin,1957.
H.Davenport,Multiplicative Number Theory,2nd ed.,Springer-Verlag, Berlin, 1980.
配圖
零點
若 χ 是原特徵，χ( ? 1) = 1，則 L(s,χ) 在 Re(s)
