積分變換

積分變換

積分變換無論在數學理論或其套用中都是一種非常有用的工具。最重要的積分變換有傅立葉變換拉普拉斯變換。由於不同套用的需要,還有其他一些積分變換,其中套用較為廣泛的有梅林變換和漢克爾變換,它們都可通過傅立葉變換或拉普拉斯變換轉化而來。

基本介紹

  • 中文名:積分變換
  • 外文名:integral transformation
  • 領域:數學
  • 意義:數學理論或其套用中具重要作用
  • 典型積分變換:傅立葉變換、拉普拉斯變換等
  • 相關書籍:《積分變換》
積分變換的定義,典型積分變換,梅林變換,漢克爾變換,積分的分類,同名圖書《積分變換》,內容簡介,目錄,

積分變換的定義

通過參變數積分將一個已知函式變為另一個函式。已知ƒ(x),如果
積分變換
存在(其中,αb可為無窮),則稱F(s)為ƒ(x)以K(s,x)為核的積分變換。

典型積分變換

積分變換無論在數學理論或其套用中都是一種非常有用的工具。最重要的積分變換有傅立葉變換拉普拉斯變換,此外還有梅林變換和漢克爾變換,它們都可通過傅立葉變換或拉普拉斯變換轉化而來。傅立葉變換和拉普拉斯變換的詳細介紹參考相關詞條,這裡就不再贅述。

梅林變換

K(s,x)=xs_1,x>0,而ƒ(x)定義於[0,+∞),函式(式(1)):
積分變換
稱為ƒ(x)的梅林變換,式中s=σ+iτ為複數。M(s)的梅林反變換則定義為(式(2)):
積分變換
這裡積分是沿直線Res=σ進行的。
(1)式與(2)式在一定條件下互為反演公式。例如,設(1)絕對收斂,在任何有限區間上ƒ(x)是有界變差的,且已規範,則由(1)可推得(2),在l2(0,∞)空間中也有類似結果。
積分變換
若以M(s,ƒ′)表示ƒ′(x)的梅林變換,則在一定條件下,有:
積分變換
在一定條件下,還有下列梅林交換的卷積公式:
積分變換
式中с>Res
一些簡單函式的梅林變換如下圖所示:
積分變換積分變換

漢克爾變換

Jγ(x)為у階貝塞爾函式(見特殊函式),ƒ(x)定義於[0,+∞),則稱(式(3)):
積分變換
ƒ(x)的у階漢克爾變換;而稱(式(4)):
積分變換
h(t)的漢克爾反變換。有的作者代替(3)與(4)改用 與
積分變換
效果是一樣的。在一定條件下,(3)與(4)成為一對互逆公式,此外,還有:
積分變換
一些簡單函式的漢克爾變換如下圖所示:
積分變換積分變換

積分的分類

(1)定積分:設閉區間[a,b]上有n-1個點,依次為a=x0<x1<x2…<xn-1<xn=b,它們把[a,b]分成n個小區間△i=[xi-1,xi],i=1,2,…,n.這些分點或這些閉子區間構成對[a,b]的分割,記為T={x0,x2,…,xn}或{△1,△2,…△n},小區間△i的長度為△xi=△xi-△xi-1,並記‖T‖=MAX{△Xi},稱為分割T的模。
(2)不定積分
(3)反常積分
(4)重積分;
(5)曲線積分
(6)曲面積分

同名圖書《積分變換》

內容簡介

本書是由刁元勝編著的。本書介紹了如何用積分變換的方法來簡化數學問題中難以求解的問題。積分變換是通過積分的方法,把一個函式變換為另一個函式。對不同的變換選取不同的形式。這種變換是一一對應的,否則做逆變換的時候就不能得到唯一的解,不符合工程上解得唯一性原則,這樣,積分變換就不具有實用價值。

目錄

  1. 傅立葉變換
    1.1 傅立葉積分和傅立葉變換
    1.2 單位脈衝函式
    1.3 傅立葉變換的性質
    1.4 能量積分與相關函式
    1.5 傅立葉變換在數理方程中的套用
  2. 拉普拉斯變換
    2.1 拉普拉斯變換的概念
    2.2 拉普拉斯變換的性質
    2.3 拉普拉斯逆變換
    2.4 拉普拉斯變換的套用
附錄

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們