曲面積分

定義在曲面上的函式或向量值函式關於該曲面的積分。曲面積分一般分成第一型曲面積分和第二型曲面積分。

第一型曲面積分物理意義來源於對給定密度函式的空間曲面，計算該曲面的質量。第二型曲面積分物理意義來源對於給定的空間曲面和流體的流速，計算單位時間流經曲面的總流量。

基本介紹

• 中文名：曲面積分
• 外文名：Surface Integral
• 屬性：數學概念
• Σ：積分曲面
• dS：面積微元

第一型

定義

設 為空間中的曲面， 為定義在 上的函式．對曲面作分割 ，它把分成 個可求面積的小曲面片 ， 的面積記為 ，分割 的細度為 ，在 上任取一點 , 若存在極限

且它的值與分割及點的取法無關，則稱此極限 為 在 上的第一型曲面積分，記為

或者簡寫成 。

第一型曲面積分的計算

設空間曲面S的方程為 ， ，其中 為曲面S在 平面上的投影域，函式 在曲面S上連續，如果 在 上有連續的一階偏導數，則有

其中 是 在 上的投影域， 和 表示在 內某點 處的兩個偏導數。由第一型曲面積分的定義，於是將第一型曲面積分化為二重積分的計算

物理意義

表示以 為面密度的空間曲面S的“質量”，即將空間曲面S想像成一塊光滑的（可微的）不摺疊的（單值的）質量分布服從 的薄板，故 在S上的第一型曲面積分就是薄板的代數質量。

第二型

設 為空間中的曲面， 為定義在 上的函式．對曲面作分割 ，它把分成個可求面積的小曲面片 ， 分別代表 在三個坐標面的投影面積。分割的細度為 ，在 上任取一點 , 若存在極限

且它的值與分割及點的取法無關，則稱此極限 為 在 上的第二型曲面積分，記為

或者簡寫成 。

第二型曲面積分的計算

設空間曲面S的方程為 ， ，其中 為曲面S在 平面上的投影域，函式 在曲面S上連續，如果 在 上有連續的一階偏導數，則有

物理意義

表示以為空間流體的流速場，單位時間流經曲面的總流量。