斯托克斯公式(數學公式)

斯托克斯公式是微積分基本公式在曲面積分情形下的推廣，它也是格林公式的推廣，這一公式給出了在曲面塊上的第二類曲面積分與其邊界曲線上的第二類曲線積分之間的聯繫。

基本介紹

• 中文名：斯托克斯公式
• 外文名：Stokes formula
• 領域：數學
• 提出者：斯托克斯
• 形式：積分
• 相關公式：格林公式

內容

設 是具有邊界曲線的有向曲面， 的邊界曲線的正向這樣規定：使這個正向與有向曲面 的法向量符合右手法則．即當右手除大拇指外的四指依曲線 的繞行方向時，豎起的大拇指的指向與曲面 的法向量的指向一致．如此定向的邊界曲線 稱為有向曲面 的正向邊界曲線．

設 為空間的一條分段光滑的有向曲線， 是以 為邊界的分片光滑的有向曲面， 的正向與 的側符合右手法則．函式 在曲面 (連同邊界 )上具有連續的一階偏導數，則

稱為斯托克斯公式。

證明

首先證明

（1）

先假定用平行於z軸的直線穿過曲面 時只有一個交點。的方向不妨取上側，它在xOy面上的投影區域為 ，而的邊界曲線在xOy面上的投影即為的邊界曲線L，且L的方向與方向一致，如圖所示．此時的方程可寫為.

設L的參數方程為

從而的參數方程為

t的增大方向對應於的正向，則由曲線積分計算法易於驗證

由格林公式得

另一方面，的法向量，設其單位法向量，於是

從而，因此

比較得到

若的方向取下側，也相應地改取相反的方向，那么上式兩端同時改變符號，因此上式仍成立。

當曲面與平行於z軸的直線的交點多於一個時，可通過分割的方法，把分成幾部分，使每一部分均與平行於z軸的直線至多交於一點，然後分片討論，再利用第二型曲線積分的性質，同樣可證式(1)成立 。

同理可證：

(2)

(3)

將式（1），（2），（3）兩端分別相加即得斯托克斯公式。

為了便於記憶，斯托克斯公式也常用如下的行列式來表示：

式左端的行列式按第一行展開，並把與的乘積理解為，與的乘積理解為，其他類似，展開後的表達式就是斯托克斯公式的左端。

利用兩類曲面積分間的聯繫，可得斯托克斯公式的另一種形式如下：

其中為有向曲面的單位法向量。

當曲面是面xOy上的一塊平面閉區域時，斯托克斯公式就變成格林公式．因此斯托克斯公式是格林公式從平面形式到空間形式的一個推廣。