斯托克斯定理

定理

物理場的觀點是

建立了場域中某一區域的場與該區域邊界上場量之間的關係。

ℝ³ 上的斯托克斯公式

設S 是分片光滑的有向曲面，S 的邊界為有向閉曲線Γ ，即，且Γ 的正向與 S 的側符合右手規則：函式P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)都是定義在“曲面 S連同其邊界 Γ”上且都具有一階連續偏導數的函式，則有

這個公式叫做 ℝ³ 上的斯托克斯公式或開爾文－斯托克斯定理、旋度定理。這和函式的旋度有關，用散度算符可寫成：

、

它將ℝ³ 空間上“向量場的旋度的曲面積分”跟“向量場在曲面邊界上的線積分”之間建立聯繫，這是一般的斯托克斯公式（在 n&#x00三維;2 時）的特例，我們只需用ℝ³ 空間上的度量把向量場看作等價的1形式。該定理的第一個已知的書面形式由威廉·湯姆森（開爾文勳爵）給出，出現在他給斯托克斯的信中。

類似的，高斯散度定理

也是一般的斯托克斯公式的一個特例，如果我們把向量場看成是等價的n-1形式，可以通過和體積形式的內積實現。微積分基本定理和格林定理也是一般性斯托克斯定理的特例。使用微分形式的一般化斯托克斯定理當然比其特例更強，雖然後者更直觀而且經常被使用它的科學工作者或工程師認為更方便。

通過以下公式可以在對坐標的“曲線積分”和對面積的“面積積分”之間相互轉換：

流形上的斯托克斯公式

令 M 為一個可定向分段光滑 n 維流形，令 ω 為 M 上的 n−1 階 C 類緊支撐微分形式。如果 ∂M 表示 M 的邊界，並以 M 的方向誘導的方向為邊界的方向，則

這裡 dω 是 ω 的外微分, 只用流形的結構定義。這個公式被稱為一般的斯托克斯公式（generalized Stokes' formula），它被認為是微積分基本定理、格林公式、高－奧公式、ℝ³ 上的斯托克斯公式的推廣；後者實際上是前者的簡單推論。

該定理經常用於 M 是嵌入到某個定義了 ω 的更大的流形中的子流形的情形。