斯托克斯理論

三維平面上的斯托克斯公式

設S是分片光滑的有向曲面，S的邊界為有向閉曲線Γ，即

，且Γ的正向與S的側符合右手規則：函式P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)都是定義在“曲面S連同其邊界Γ”上且都具有一階連續偏導數的函式，則有：

引進符號行列式，這個公式也可以寫成以下形式：

這個公式叫做三維平面上的斯托克斯公式或開爾文－斯托克斯定理、旋度定理。這和函式的旋度有關，用梯度算符可寫成：

它將三維空間上“向量場的旋度的曲面積分”跟“向量場在曲面邊界上的線積分”之間建立聯繫，這是一般的斯托克斯公式（在 n=2 時）的特例，我們只需用ℝ³ 空間上的內積把向量場看作等價的1-形式。該定理的第一個已知的書面形式由威廉·湯姆森（開爾文勳爵）給出，出現在他給斯托克斯的信中。

類似的，高斯散度定理

也是一般的斯托克斯公式的一個特例，如果我們把右邊的

看成是等價的(n-1)-形式，可以通過和體積形式的內積實現。微積分基本定理和格林定理也是一般性斯托克斯定理的特例。使用微分形式的一般化斯托克斯定理當然比其特例更強，雖然後者更直觀而且經常被使用它的科學工作者或工程師認為更方便。

令 M 為一個可定向分段光滑 n 維流形，令 ω 為 M 上的 n−1 階 C 類緊支撐微分形式。如果 ∂M 表示 M 的邊界，並以 M 的方向誘導的方向為邊界的方向，則

這裡 dω 是 ω 的外微分, 只用流形的結構定義。這個公式被稱為一般的斯托克斯公式（generalized Stokes' formula），它被認為是微積分基本定理、格林公式、高－奧公式、三維空間上的斯托克斯公式的推廣；後者實際上是前者的簡單推論。

該定理經常用於 M 是嵌入到某個定義了 ω 的更大的流形中的子流形的情形。

定理可以簡單的推廣到分段光滑的子流形的線性組合上。斯托克斯定理表明相差一個恰當形式的閉形式在相差一個邊界的鏈上的積分相同。這就是同調群和德拉姆上同調可以配對的基礎。