雙層位勢

雙層位勢(double layer potential)通過基本解的法嚮導數定義的一個曲面積分，也是拉普拉斯方程的一個特解。拉普拉斯方程以法國數學家、天文學家P.S.拉普拉斯(Pierre SimonLaplace)命名的偏微分方程。在電磁學、力學、熱學等學科中，拉普拉斯方程用來描述靜止場(不隨時間變化的場)的特性。

基本介紹

• 中文名：雙層位勢
• 外文名：double layer potential
• 領域：數學
• 性質：法嚮導數
• 方程：拉普拉斯方程
• 曲面：李雅普諾夫曲面

概念

雙層位勢是通過基本解的法嚮導數定義的一個曲面積分，也是拉普拉斯方程的一個特解。設Γ(x，y)是拉普拉斯運算元在區域Ω上的基本解，函式：

稱為密度為σ的雙層位勢，其中ν(x)為在x處的外法線。如果∂Ω是李亞普諾夫曲面，則對任意x∈∂Ω，有：

此式稱為雙層位勢的躍度關係。因此，可將拉普拉斯方程狄利克雷問題：

化為對σ(x)解下列積分方程的問題：

曲面積分

先看一個例子：設有一構件占空間曲面Σ，其質量分布密度函式為(密度分布)ρ（x,y,z），求構件的質量。

同樣，對於密度不均勻的物件，也不可以直接利用ρS（這裡的S代表的是面積，下同）處理問題的思想方法類似於分布在平面區域的質量問題，就需要利用曲面積分：

就是對面積的曲面積分。

曲面積分可以分別對面積的曲面積分 （第一類曲面積分）和對坐標軸的曲面積分（第二類曲面積分）。

對面積的曲面積分和對坐標軸的曲面積分是可以轉化的；兩類曲面積分的區別在於形式上積分元素的不同，第一類曲面積分的積分元素是面積元素dS，例如：在積分曲面Σ上的對面積的曲面積分：

而第二類曲面積分的積分元素是坐標平面dxdy，dydz或dxdz，例如：在積分曲面Σ上的對坐標平面的曲面積分：

拉普拉斯方程

以法國數學家、天文學家P.S.拉普拉斯(Pierre SimonLaplace)命名的偏微分方程。在電磁學、力學、熱學等學科中，拉普拉斯方程用來描述靜止場(不隨時間變化的場)的特性。令A (x，y，z)是被研究的場量(例如溫度)，x、y、z是三維空間直角坐標系的三個坐標量。拉普拉斯方程的具體形式是：

採用另一種坐標系，拉普拉斯方程的形式隨之改變。為了擺脫坐標系的具體形式，常將拉普拉斯方程寫成：

靜電場中的拉普拉斯方程三維空間的某個區域Ω中充滿了同一種各向同性的線性電介質，區域Ω內沒有電荷。將Ω中的電位記作V。靜電場的規律由拉普拉斯方程▽²V=0描述。

恆定磁場中的拉普拉斯方程區域Ω中充滿了同一種各向同性的線性磁介質，Ω中沒有電流。區域Ω是單連通的。將Ω中的磁標位記作m，恆定磁場的規律由拉普拉斯方程▽²m=0描述。

恆定電場中的拉普拉斯方程區域Ω中充滿了同一種各向同性的線性導電體，Ω中沒有電動勢。導電體中的電位V滿足拉普拉斯方程▽²V=0。

拉普拉斯方程的解拉普拉斯方程的解，決定於區域Ω邊界上的場量。邊界上給定的場量稱邊界條件。因此，解靜止場的問題，通常是在給定的邊界條件下解拉普拉斯方程：①在區域形狀簡單、邊界條件簡單的條件下，可以用解析方法解拉普拉斯方程。②用實驗方法解拉普拉斯方程，即測量出區域Ω中各處的場量。③利用計算機用數值方法解拉普拉斯方程。隨著計算機技術的發展，數值方法得到廣泛的套用(見電磁場的數值計算)。

泊松方程若▽²A=0的等號右端不是0，而是空間坐標的函式，則此方程稱為泊松方程。它是以法國數學家、物理學家S.泊松(S.Poisson)命名的。例如在靜電場的情況下，若區域Ω中有電荷體密度ρ時，電位V滿足泊松方程：

其中常數ε為充滿Ω的、同一種各向同性線性電介質的電容率。

李亞普諾夫曲面

體積分及曲面積分相互轉化的格林公式對任意連續可微函式都成立的一類區域的邊界曲面。Rⁿ中的區域Ω的邊界S如果滿足下列條件，則稱S為李亞普諾夫曲面：

1.S被有限個n維區域覆蓋，在每個區域內的點x∈S有參數表示x_i=x_i(t₁，t₂，…，t_n-1)(i=1，2，…，n)，x_i定義在變數t₁，t₂，…，t_n-1的一個有界區域S內。

2.函式x₁，x₂，…，x_n建立了與S的對應部分之間的一一對應，

3.在S內：

4.曲面S的外法線ν滿足：

若S為李亞普諾夫曲面：

則有格林公式：

其中ν為∂Ω的單位外法向，dS=Jdt₁dt₂…dt_n-1為面積微元。