雙側曲面

假定一個法向量在某個空間中的光滑曲面上的一條閉曲線移動，並保持它是曲面的法向量，如果不管如何選擇閉曲線，當回到出發點時法向量的指向與它原來的指向總是一致的，則稱該曲面是雙側的。

基本介紹

• 中文名：雙側曲面
• 外文名：bilateral surface
• 套用學科：數學術語
• 範疇：數理科學
• 同類：單側曲面
• 涉及：曲面積分

概念

在光滑曲面 上任取一點 ，過點 的法線有兩個方向，如果選定法線的某個方向為指定的方向，當點在曲面上連續移動時，法線也連續變動、當動點從 出發沿著曲面上任意一條不越過曲面邊界的封閉曲線又回到原位置 時，法線的指向保持不變，稱這種曲面為雙側曲面。

基本原理

性質

（1）由於第二類曲面積分是在雙側曲面指定的一側進行的，如果考慮不同的側面，此時 的方向相反，因而面積的投影相差一負號，若記曲面 的某一側為 ，相反一側為 ，則

因此，當改變曲面的側，積分改變符號，這與第一類曲面積分是一個顯著差別。

對於曲面的側，若曲面非封閉，可分為上側與下側，前側與後側，左側與右側；若曲面封閉，則可分為外側與內側。

（2）若曲面 分為兩塊曲面 與 ，即 ， 與 沒有公共內點，但不改變曲面的側，則

計算法

第二類曲面積分可化為二重積分來計算，但須注意到被積函式中的變數應滿足曲面方程，是面積元素分別在各坐標面上的投影，計算公式為

其中，當法線矢量的方向角為銳角時，相應積分號下取“”號；為銳角時取“”號，特別，若為時，則相應積分值為零。而是曲面的方程的三種表示，它們分別在上都是單值連續函式。