第一型曲面積分

定義在曲面上的函式關於該曲面的積分。第一型曲線積分物理意義來源於對給定密度函式的空間曲面，計算該曲面的質量。

基本介紹

• 中文名：第一型曲面積分
• 又稱：對面積的曲面積分
• 相關書籍：數學分析
• 物理意義：空間曲面S的“質量”

定義

設為空間中的曲面，為定義在上的函式．對曲面作分割，它把分成個可求面積的小曲面片，的面積記為，分割的細度為，在上任取一點, 若存在極限

且它的值與分割及點的取法無關，則稱此極限為在上的第一型曲面積分，記為

或者簡寫成。

計算

設空間曲面S的方程為，，其中 為曲面S在平面上的投影域，函式在曲面S上連續，如果在上有連續的一階偏導數，則有

其中是在上的投影域，和表示在內某點處的兩個偏導數。由第一型曲面積分的定義，於是將第一型曲面積分化為二重積分的計算

物理意義

表示以為面密度的空間曲面S的“質量”，即將空間曲面S想像成一塊光滑的（可微的）不摺疊的（單值的）質量分布服從的薄板，故在S上的第一型曲面積分就是薄板的代數質量。

性質

第一型曲面積分具有下述一些重要性質:

1)．若存在，為常數，則也存在，且

2)．若曲面由互不相交的曲面塊組成，且都存在，則也存在，且

3)．若與都存在，且在上, 則

4)．若存在，則也存在，且

套用

下面給出二個常用的套用。

1)空間曲面S的重心坐標為

2)曲面S繞z軸(x, y軸)的轉動慣量是

其中為曲面的密度函式。