《頂點運算元代數及其套用》是依託清華大學，由朱敏嫻擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：頂點運算元代數及其套用
- 依託單位：清華大學
- 項目負責人：朱敏嫻
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
頂點運算元代數出現在共形場論和對Moonshine猜想的研究中，Moonshine猜想把模形式和特殊有限單群的表示聯繫起來。在Frenkel,Lepowsky,Meurman構造的Moonshine模的基礎上Borcherds給出了頂點運算元代數的嚴格定義，並完全證明了Moonshine猜想，這確立了頂點運算元代數在數學和物理中的重要性。本項目擬研究一類從Virasoro代數的兩個對偶範疇中的表示構造而來的頂點運算元代數，特別是當水平參數為有理數時這些頂點運算元代數的內部結構。我們也希望研究chiral de Rham complex(cdRc)在鏡像對稱中的套用。一個卡拉比-丘流形上的cdRc同調是一個有N=2超對稱保角不變結構的頂點運算元代數，我們將研究如何有效地計算一些流形和它們的子流形（比如Grassmann流形）上的cdRc同調和這些計算在鏡對稱中的套用。
結題摘要
本項目主要研究頂點運算元代數以及它們在表示論與數學物理中的套用的一些前沿問題。我們主要研究了用 Virasoro 代數的表示構造的一類頂點運算元代數，頂點運算元代數在鏡像對稱中的套用，Gorenstein Fano 環面簇中卡拉比－丘超曲面的鏡像對稱，以及齊次空間中卡拉比－丘超曲面的周期積分滿足的 tautological 系統等方面的問題。我們的主要結果如下：證明了物理上計算的 Berglund-Hubsch Landau-Ginzburg orbifold 的橢圓虧格與一個頂點運算元代數上某個運算元的超跡相等，從而從數學上嚴格證明了鏡像對稱的 Berglund-Hubsch Landau-Ginzburg orbifold 的橢圓虧格滿足預期的對偶性質；證明了關於復射影空間中卡拉比－丘超曲面的周期積分的超平面猜想，並在任意 Gorenstein Fano 環面簇中卡拉比－丘超曲面的周期積分的超平面猜想的證明上取得了重大進展。
