低權Jacobi形式及其套用

《低權Jacobi形式及其套用》是依託同濟大學，由周海港擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：低權Jacobi形式及其套用
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：周海港
• 依託單位：同濟大學

中文摘要

近十年，在模形式理論的套用方面出現兩大令人矚目的突破。一個是在Borcherds傑出工作的推動下，奇異模理論取得極大進展；另一個是，關於Ramanujan遺留的mock theta函式的謎團已被揭開。這兩方面看似無關，卻相互促進，相互交織，有許多新方法、新思想、新概念不斷湧現，一套新的理論體系初見端倪。居於該理論體系核心的有弱Maass形式、mock模形式和Jacobi形式。本項目主要以低權Jacobi形式為核心，考慮低權Jacobi形式的算術性質及其在奇異模和mock theta函式方面的套用。具體講，構造低權Jacobi形式,考慮其算術性質，進而利用低權Jacobi形式性質來研究奇異模、mock theta函式和分拆函式，以及與弱Maass形式、mock模形式的各種關聯。本課題涉及當代數論研究的核心熱點問題，是當代數論和分析、代數、幾何的交叉領域，有重要的研究意義和價值。

結題摘要

本項目在Jacobi形式的算術理論以及堆壘素數論的一些課題做了比較深入的研究，取得了比較好的進展。低權Jacobi形式與新興的調和Maass形式，mock模形式有密切的關係，在橢圓曲線、組合數論、頂點運算元代數及數學物理方面都有廣泛的套用。具體來講，我們做了如下幾個方面的工作：1. 深入研究了非全純的skew-holomorphic Jacobi形式的算術性質，包括它的跡公式和維數公式，並且對skew-holomorphic Jacobi理論進行了全面系統的發展；2. 考慮了低權Jacobi形式與四元代數的算術性質，推廣了Gross的一個結果，給出Eichler-Selberg跡公式一個新的證明；3. 考慮了幾類mock theta 函式的一些性質；4. 研究了某些混合冪的Waring—Goldbach問題及例外集問題，還證明了滿足一定條件的大偶數可表示為四個素數平方與117個2的方冪之和；5.還考慮了素變數丟番圖逼近,得到更優的上界。