魔群

魔群（Monster Group）是最大的散在單群，於1973年由Fischer和Griess提出。

基本介紹

• 中文名：魔群
• 外文名：Monster Group
• 別名：大魔群
• 表達式：好
• 提出者：Fischer和Griess
• 提出時間：1973年
• 套用學科：組合數學

起源

首先要談到的是德國數學家費舍爾（B. Fischer，1936年—）。費舍爾小時候就對數學感興趣，高中老師用數學來研究物理問題的方法使他深受啟發，因此他打算先獲得物理學碩士學位，然後再攻讀數學博士學位，將來成為套用數學家。1956年，著名數學家拜爾（R. Baer，1902—1979年）從美國來到德國，費舍爾被他做數學的方式深深吸引，於是希望能轉變成一位純粹數學家。他考察了數學的各個部分，開始形成自己的思想，他說：“我常常去圖書館看書，其中有一部分就是分配擬群。”它們不是群，但費舍爾對它們非常感興趣，因為“在我看來它們顯然大概是群”。他是正確的，這引導他找到了由像對換那樣作用的運算生成的群。

1971年，費舍爾發表文章《由3-對換生成的有限群I》，通過研究3對合的共軛類（若t，s∈D，則ts的階數為1、2或3，那么稱D為3對合的共軛類）發現3個群，它們與3個最大的馬蒂厄群M22、M23和M24有關，故記為M（22）、M（23）和M（24），以Fi₂₂、Fi₂₃和Fi₂₄著稱。與馬蒂厄群的大小相比，Fi22、Fi23和Fi24要大得多，其中前兩個是單群，第三個包含一個1，255，205，709，190，661，721，292，800階的單群Fi₂₄′，這是當時發現的最大的散單群。

費舍爾進一步研究由{3，4}對換共軛類生成的群，意識到M（22）有可能包含在一個更大的群中。1973年夏，他和妻子完全靠手工計算出這個群的階為41 5478 1481 2264 2619 1177 5805 4400 0000，暫時記為M，這就是今天所謂的小魔群（Babymonster Group）F₂。9月，他在奧博沃爾法赫舉辦的關於有限群的數學會議上談到了這個新群。10月份，第2次會議在比勒費爾德大學舉辦，費舍爾是那裡的教授，自然小魔群成了當時討論的熱門話題。這個群是否真的存在呢，費舍爾著手計算特徵標表。

同時，費舍爾感覺到小魔群好像是一個更大的群的對合的中心化子，因為這個更大的群顯然跟Fi₂₄有關，他暫時記為M。這件事發生在1973年末，當時密西根大學的格瑞斯（R. Griess，1945年—）也有類似的想法。於是，他們獨立考慮：F₂的中心擴張可能導致另一個更大的散單群，它具有一個對合z，滿足 C_G（z）是康威（J. Conway，1937—2020）群經由一個 2階超特殊群的擴張 C。11月，他們分別宣布了其存在性。儘管存在性的這一跡象非常可信，但大魔群究竟是什麼東西，數學家們並沒有線索，要證明絕非易事。關於此方面真正的工作於那個月的第一個周末展開了。

需要指出的是，當時費舍爾也確曾考慮過是否存在與Fi₂₃對應的M的問題，他與劍橋的教授康威談到這項新的工作，康威把與Fi₂₂、Fi₂₃和Fi₂₄相對應的這三個潛在的群稱為小魔群、中魔群和大魔群。當中魔群顯然不存在之後，就確定了小魔群和大魔群這兩個名稱，自此成為了標準術語，這就是我們前面名稱的由來。

如果確實存在大魔群，要做的第一件事就是計算出它的階。費舍爾研究這個問題時正在劍橋訪問。他知道大魔群有兩個對合的中心化子，利用這些以及湯姆遜（J. Thompson，1932年—）發明的階數公式，大魔群的階的計算好像伸手可及。湯姆遜的技巧需要對兩個對合的中心化子如何能夠相交做詳細計算，但即使沒有完整的信息，費舍爾也能藉此說明大魔群的階不會大於某個數。進一步的計算說明這個階一定存在於算術級數中，在他回到比勒費爾德之後，康威利用一台可程式的HP65計算器找到了最小可能的情況，他猜這個數肯定正確，因此馬上給費舍爾寫信：

親愛的Bernd，大魔群的大小是……我想你可能已經知道了。

費舍爾不知道，但將其與他已經知道的信息結合在一起，大魔群的階就不再是一個猜想了。1974年1月的第1周，他在由拜爾在奧博沃爾法赫組織的工作會議上就這個新群作了報告，收錄到《報告文集》中，這是首次公開提及大魔群。

同年，費舍爾到英國伯明罕拜訪利文斯通（D. Livingstone，1924—2001年），並在那裡訪問了很長一段時間，他們相處得非常融洽，試圖討論小魔群的特徵標表。然而，利文斯通有一種不同想法：對大魔群而言，儘管任何特徵標表的第一行都是平凡的，但是劍橋的年輕數學家諾頓（S. Norton，1952年—）和其他人設法計算出第二行可能以196883開頭，這個數是大魔群的階的三個最大素因子的乘積，也是大魔群能夠在其中運算的最小空間的維數，因此應該可以先計算出大魔群的特徵標表，然後再計算出小魔群的特徵標表。於是他們開始了這項偉大的計畫。

大魔群的特徵標表計算起來很困難，要藉助計算機。於是搞程式設計的索恩（M. Thorne）加入了，他非常善於編程，總能在最需要他的時候出現。然而另一方面，1974年的計算機功能與我們今天的相差甚遠，他們不得不借用伯明罕大學的大計算機。遺憾的是，其他系每天也需要進行大量計算，因此他們並不能想什麼時候用就什麼時候用，必須要等到晚上。利文斯通是一個夜貓子，費舍爾也很願意調整自己的作息規律。這樣在伯明罕的那段日子裡，他們每天工作16個小時，用了一年多的時間才計算出了大魔群的特徵標表。費舍爾回憶說：

我首先算出這個特徵標表的前18行，然後就離開了，沒有參與從19—44行的計算。可是再往下算時遇到了攔路虎，他們需要我的幫助，因此我又到伯明罕訪問了一段時間，建議如何得到更多的特徵標。到七八十行之後，利文斯通採用了一種完全不同的方法算出了剩下的全部特徵標。

康威、卡瑞茨（R. T. Curits）、諾頓、派克（R. A. Parker）和威爾遜（R. A. Wilson）1985年出版的《有限群的地圖》中用了整整8頁的篇幅描述了大魔群的特徵標表。特徵標是群論研究的重要工具，包含群的大量有用信息，在決定群的結構上起著重要作用，揭開了對大魔群研究的新篇章。

到20世紀70年代末，儘管人們又得出關於大魔群的許多信息，但還不知道它存在與否。當辛姆斯（C. C. Sims）和雷昂（J. S. Leon）於1977年早期在一台計算機上把小魔群作為置換群構造出來之後，人們自然地就會問是不是可以用類似的方法構造出大魔群。遺憾的是，對於大魔群，前途還比較渺茫，因為它的極大子群是小魔群的一個完全中心擴張，其指數大約為10。這樣，如果要把大魔群刻畫成一個置換群，就必須在這10個元素上定義置換，而這在當時完全超出計算機的能力，於是只能採用新的研究方法。正所謂山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村，格瑞斯突然在1980年1月14日宣布他構造出了大魔群。康威回憶說：

當我們收到他的卡片的時候，不知道他是如何構造出來的，我們認為他肯定採用了某種新方法。

事實上，早在1976年，格瑞斯在《大魔單群的結構》一文中曾指出滿足前麵條件的群G（稱為F₁型群或大魔群型群）的非平凡不可約特徵標的次數（degree）的下界是196883，而且很可能正好是這個數（1979年，康威和諾頓在“魔群月光”中也提到了這一點）。諾頓證明，大魔群如果存在，它在196884維空間中就會保持一種代數結構。

受諾頓的啟發，1979年末，格瑞斯重新考慮一種可能的存在性證明，其思想是從前面的C出發，選取一個196884維模B，通過在B上定義具有一個對稱非退化結合雙線性型的交換非結合代數結構，去定義這個代數的一個自同構σ，得到群G=〈C，σ〉。格瑞斯在他1982年的文章《友好巨人》第十二節用了整整一節的篇幅證明了G就是我們想要得到的大魔群F1。

格瑞斯的構造把那個196884維空間分解成了下面三個維數的子空間：98304、300和98280。第一個數98304來自於24維空間中的格萊碼；第二個數300是24×24對稱矩陣的空間的維數；第三個數98280來自於24維中的李奇格，其中存在與已知頂點密切相關的196560個頂點，形成98280個直接對點。在某種程度上，代數B僅用基本線性代數就能描述，因此可以說G=〈C，σ〉的構造是初等構造。然而，由於當時格瑞斯並不知道G是有限的，更何況C_G（z）=C。為此，他利用了有限單群分類理論中的深刻結果與巧妙技巧，特別是高德斯密特（G. Goldschmidt）對具有強閉阿貝爾22子群的有限群分類以及史密斯（S. Smith，1948年—）關於“O₂超特殊問題”方面的工作。

1980年1月14日，格瑞斯通過信件宣布自己對大魔群的構造：

我非常高興地宣布我最近構造了一個有限單群G。無疑，它與我和費舍爾1973年所預言的大魔群F1同構。其構造簡潔、清晰，完全靠手工實現，我相當滿意。

3月14日，美國基金會新聞發布會就格瑞斯的構造發表評論：

一位科學家在解決一個長期存在的問題方面邁出了重要一步，他成功解決了“散單群”列表剩下的最後兩個難題之一。這個科學家就是密西根大學數學系副教授格瑞斯，現為普林斯頓高等研究院研究員。

長期以來，數學家一直在研究的一個問題就是有限單群分類，一旦這個問題得以解決，就解決了有限單群理論中的一個主要問題，就相當於解決了化學中的元素周期表。格瑞斯的工作使得我們大大接近了這一目標，因為好像數學家只剩下一個群要構造了。當最後一個散單群被構造出來時，分類問題中的一個重大漏洞就填補上了。

然而，寫下所有的細節還需要用很長時間，格瑞斯直到1981年6月才將其整理成文投出去，經過仔細評審之後，1982年最終發表。他在這篇論文中使用的是“友好巨人”而不是“大魔群”這個詞，但這個新名詞沒有流行起來。

既然大魔群有著如此迷人、複雜的結構，沒過多長時間另外兩位數學家就也考慮大魔群的構造。一個是年輕的梯茨，1984年他發表《論格瑞斯的“友好巨人”》，說：“在某種程度上我簡化了格瑞斯的構造，但是他做了傑出的工作，不利用計算機就把大魔群構造出來當屬一大創舉。”另外一個對格瑞斯的構造比較感興趣並最終給出自己構造方法的是康威，1985年他發表《費舍爾-格瑞斯的大魔群的簡單構造》，不過他也稱格瑞斯的構造是“不朽的”。

1988年，弗蘭克爾（I. Frenkel，1952年—）、勒博斯基（J. Lepowski，1944年—）和穆爾曼（A. Meurman，1956年—）在《頂點運算元代數與大魔群》一書中利用另一種方法把大魔群作為頂點運算元代數的對稱群構造出來。頂點運算元代數是非常新的東西，雖然幾年之前它們已經作為“頂點代數”出現了，但是大多數數學家從來沒有聽說過。另外，頂點運算元並非來自於數學，而是物理學中的弦論———基本粒子的模型。這說明了大魔群與物理學的深刻思想有聯繫。他們在前言中寫道：“我們的主要定理可以解釋大魔群的量子場論構造，事實上大魔群是一種特殊弦論的對稱群。”雖然他們三人的構造長而複雜，但也有兩個優點：一方面，它從頂點運算元代數理論的背景下來看相當自然；另一方面，它說明了大魔群和虧格為0的模函式之間的聯繫，具有非常有趣的性質。

另外，人們仍在尋找適當的計算機構造方法。前文的威爾遜是英國倫敦大學瑪麗皇后學院的一位知名教授，主要從事有限群及其相關領域，比如說群表示論、組合群論和能套用到群論中去的計算機技術與算法方面的研究。他藉助計算機發現了能生成大魔群的二元域上的兩個196，882×196，882矩陣，但從時間和存儲空間的角度來看，對這樣的兩個矩陣進行計算無疑要付出沉重的代價，因為每個矩陣要占十億位元組的存儲空間。用威爾遜的話來說：

截止到1998年12月15日，我們已經得到了大魔群的標準生成子，它們是GF（2）上的兩個196，882×196，882矩陣，對它們的尋求需要一台奔騰計算機花8小時的時間，而要把它們相乘，則需要亞琛工業大學數學研究所的絕大部分計算機工作約45小時……

亞琛工業大學是德國最著名的工科院校，這裡的機械製造、計算機、電學專業聞名世界，所以其計算量可想而知。事實上，所有的這些困難並非完全來自於大魔群的大小，更主要的是由於它沒有“小的”表示。

2004年，霍爾姆斯（P. E. Holmes）和威爾遜又利用局部2子群對大魔群給出了一個新的計算機構造，這樣它便能由GF（3）上的3個196882維矩陣生成，這些矩陣緊密存儲起來，能進行有效計算。

元素個數

魔群的準確元素個數是808017424794512875886459904961710757005754368000000000，也就是大概8×10個。太陽系的原子個數也就是大約10個，僅僅高了兩個數量級。如果我們用線性空間和矩陣變換來表示魔群的話，我們至少需要一個196883維的線性空間。

代數

Griess代數

Griess提出了一個名為Griess代數的代數結構，而魔群恰好就是這個代數結構的自同構群。Griess代數的維度是196884，可以恰好刻畫了Griess代數的所有對稱性。

與弦理論聯繫

1979年，Conway和Norton提出了 “魔群月光猜想” （monsterous moonshine ）。

即：存在一個基於魔群的無限維代數結構，通過魔群的不可約線性表示，它恰好給出了j不變數的所有傅立葉係數，而魔群每一個元素在這個代數結構上的作用，都自然地給出了與某個群相關的模形式。

1992年由Brocherds完成證明 ·證明同時包含了數學和物理，其中用到了弦論中的No-ghost定理來構造證明中必不可少的一個代數結構； ·1998年Brocherds由於這個證明獲得了菲爾茲獎。 通過這個定理架起的橋樑，數學家們也發現了魔群、模函式和弦理論之間更多的千絲萬縷的聯繫。