《頂點運算元代數的量子維數和不動點理論》是依託華東師範大學，由焦翔宇擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：頂點運算元代數的量子維數和不動點理論
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：焦翔宇
- 依託單位：華東師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本課題研究頂點運算元代數的結構和表示理論，涉及頂點運算元代數的不動點理論和coset理論中的Schur-Weyl型對偶問題。 主要內容大致包含以下三個方面：（1）研究量子維數的定義以及量子維數與頂點運算元代數有理性之間的關係。證明量子維數可以用模的齊次空間的維數來逼近，並且證明頂點運算元代數的有理性是蘊含在量子維數的某些有限性的假設之下；（2）研究有理頂點運算元代數在有限自同構群作用下的不動點子代數的有理性。特別的，證明頂點運算元代數的全局維數和不動點子頂點運算元代數的全局維數之間的數量關係，進而給出不動點子頂點運算元代數的不可約表示的分類；（3）研究不動點理論中，有限群作用和不動點子頂點運算元代數之間的Schur-Weyl型對偶關係，特別是研究它們的不可約模的張量分解的對應關係。
結題摘要
本項目主要研究頂點運算元代數及其表示理論，特別地，研究者關心頂點運算元代數理論中的各種對偶現象，包括但不限於：不動點理論和陪集理論中出現的對偶性質。 本項目依賴於有理頂點運算元代數不可約表示的特徵標的模不變 (modular invariance) 性質, 通過使用量子維數來研究前面提到的對偶性質以及其它與表示的模不變相關的現象。 研究獲得了以下結果： 1. 通過進一步的研究頂點運算元代數量子維數的性質，與合作者 (Ai-Dong-Jiao-Ren) 一起完善了 parafermion 頂點代數的表示理論，完整給出了 parafermion 頂點代數表示的分類，並計算了不可約表示間的張量分解（融合法則 fusion rules）。結果已被 Transactions of the American mathematical society 雜誌接收。這個研究結果，完善了 parafermion 頂點代數的表示理論，並且大量了使用了張量範疇中的研究結果，進一步的體現了頂點代數的表示理論與張量範疇的密切聯繫。 2. 研究過程中，我們發現，在素特徵頂點代數的表示中，不可約表示的特徵標也具有某種模不變性質 (但與特徵零時有顯著不同)。我與合作者 (Jiao-Li-Mu) 研究了素特徵情形的 Virasoro 頂點代數以及仿射頂點代數的結構和表示理論。在研究過程中，我們注意到，儘管素特徵的頂點代數結構與特徵零時顯著不同，但是在某些特殊情形下（主要是有理情形），我們仍然可以通過特徵零時出現的某些現象來理解素特徵時頂點代數的結構和表示，進而給出素特徵時某些可能的猜測。相關論文正在投稿過程中。
