《頂點運算元代數理論及李代數的表示》是依託上海交通大學，由姜翠波擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：頂點運算元代數理論及李代數的表示
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：姜翠波
- 依託單位：上海交通大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目對頂點運算元代數結構與表示理論中的一些基本問題開展研究。主要研究內容如下： 1. 在前期研究的基礎上，繼續central charge為1的有理頂點運算元代數的分類工作，完成對central charge為1的頂點運算元代數的完全分類，有理頂點運算元代數的分類是頂點運算元代數理論中最重要和最為困難的研究問題之一。2. 對頂點運算元代數的twisted表示進行深入研究。給定一個頂點運算元代數V和V的一個自同構T，怎樣構造出V的T-twisted表示，一直是頂點運算元代數理論中沒有解決的公開問題。目前甚至對最為簡單的二階自同構，除了幾類特殊的頂點運算元代數外，都沒有一個可行的一般構造辦法，我們希望在這方面會有實質性突破。3. 對non-local頂點代數開展研究，特別是量子頂點代數的研究，我們的目標是給出量子頂點代數的好的例子，實現量子仿射代數與量子頂點代數的對應。
結題摘要
有理頂點運算元代數的分類是頂點運算元代數理論中的基本問題，我們對central charge為1的有理頂點運算元代數進行了深入研究，使central charge為1的有理頂點運算元代數的分類有了根本性突破（見[Dong-Jiang, J. Reine Angew. Math.，2015], [Dong-Jiang-Jiang-Jiao-Yu, J. Alg. 2015]）。張量積分解是數學研究中的核心內容，我們對A1型仿射頂點運算元代數的張量積分解及Coset頂點運算元代數進行了深入研究，證實了Lam-Sakuma關於Coset頂點運算元代數的模的分類的猜想，並證明對任意高次的張量積分解，coset頂點運算元代數均為有理的（見文[Jiang-Lin, Adv. Math. 2016]）。進一步地，我們對一般A_n型仿射頂點運算元代數的張量積分解進行了研究，通過證明coset頂點運算元代數實質上是一個廣義Parafermion代數，我們給出了關於一般A_n型有理仿射頂點運算元代數的張量積分解的Schur-Weyl對偶（研究結果見：[Jiang-Lin， arXiv： 14064191] ），並對正交型仿射頂點運算元代數的張量積分解進行了研究，給出了Schur-Weyl對偶（見[Jiang-Lam, arXiv: 1703.04889]）。我們討論了量子頂點代數及其 $\phi$- coordinated 模與帶中心的仿射無窮秩一般線性李代數之間的自然聯繫（見Jiang-Li, J. Alg. 2014）。我們討論了頂點運算元代數理論中的Jacquet運算元和範疇理論，建立了coset頂點運算元代數與Jacquet運算元之間的聯繫（見姜-林，《中國科學》， 2017）。我們利用前期工作中給出的Level-rank對偶，對一類AcCoset頂點運算元代數開展了研究，給出了這一類coset頂點運算元代數的生成元的具體表示，並在此基礎上給出了Kac-Wakimoto-Frenkel關於一類ADE型仿cCoset頂點運算元代數與一類W代數的同構猜想的A2情形的證明（見Jiang-Arakawa, Science China, 2017）。
