《廣義哈密頓系統及其相關係統的若干問題研究》是依託浙江師範大學，由趙曉華擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：廣義哈密頓系統及其相關係統的若干問題研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：趙曉華
- 依託單位：浙江師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬從理論上研究自治廣義哈密頓系統的同宿或異宿流形、中心流形等不變流形及其結構特性，對非自治廣義哈密頓系統研究其Lagrange相干結構，獲得相應的計算方法；結合以往對Lotka-Volterra系統的研究，運用廣義哈密頓系統理論研究n維耗散型LV系統的分類、分叉及混沌性質，並探討相關理論結果在複雜網路同步方面的套用；針對廣義哈密頓系統的推廣系統- - Leibniz系統，研究其相空間Leibniz流形的性質及其上Leibniz系統的動力學性質，探索相應的分叉與混沌理論，並將獲得的理論成果運用於一些重要的耗散力學系統、非完整約束系統的動力學研究。
結題摘要
（1）將一個高維動力系統表示為廣義Hamilton系統形式的問題就歸結為尋求相應的結構矩陣J(x)和Hamilton函式H(x)的問題是重要而困難的問題。本項目研究了滿足Jacobi恆等式的三階以上結構矩陣解的構造問題，提出了一些構造三階結構矩陣的方法；對幾類四階及n階結構矩陣的構造方法獲得了一些新結果。（2）根據前人關於三、四階Lie-Poisson結構的分類， 獲得了三階和部分四階Lie-Poisson結構的保結構線性變換的一般形式；對部分典型分類，利用保結構變換及廣義Hamilton系統性質獲得了二次Hamilton函式的規範型，分析了相應廣義Hamilton系統的相空間軌道結構性質和精確周期解和同宿異宿解。（3）對具有Lie-Poisson結構的廣義Hamilton系統，獲得了如何構造保結構非線性變換計算任意階Hamilton函式規範型的一般遞推公式，針對具有兩類三階Lie-Poisson結構的三維廣義Hamilton系統，具體計算了相應哈密頓函式的二階和三階規範型，討論了相應的截斷系統的相空間軌道結構的分叉性質及全局相圖分類。（4） 給出了27類五階最大穩定耗散圖對應的五階矩陣是穩定耗散矩陣的充要條件。據此藉助於穩定耗散Lotka-Volterra系統的吸引子的結構分析及廣義Hamilton系統理論，進一步詳細討論了相應的每一個五維穩定耗散Lotka-Volterra系統的穩定性、周期解存在性及混沌等動力學性質。（5）通過對低階最大穩定耗散圖的構造過程的分析, 利用圖論知識，歸納總結出一套一般的作圖算法, 按此構造步驟可得到了一般的n階最大穩定耗散圖；對一類6階穩定耗散矩陣對應的六維Lotka-Volterra系統的動力學性質的分析和數值模擬，獲得了系統吸引子為平衡點和周期軌道的充要條件。（6）研究了原點是中心且具有不變代數曲線1-x^m=0的平面多項式系統的一種擾動系統，運用分析Abel積分的零點的方法獲得了系統的極限環個數關於m的估計式。運用一階、二階平均理論分別獲得幾類平面多項式系統的極限環近似表達式。（7）對平面二次等時中心的分片光滑二次多項式擾動系統和具有二次不變曲線（1-x）^2=0的三次系統的分片光滑多項式擾動系統，分別獲得了這兩類分片光滑擾動系統的極限環個數的估計公式。（8）利用Milnikov方法研究了幾類三維系統的周期解和混沌存在性。
