近可積哈密頓動力系統的KAM方法及其套用

《近可積哈密頓動力系統的KAM方法及其套用》是依託蘇州大學，由王志國擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：近可積哈密頓動力系統的KAM方法及其套用
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：王志國
• 依託單位：蘇州大學

項目摘要

哈密頓動力系統的KAM理論一直是微分方程與動力系統的熱門研究領域，其在物理、天文和力學等自然科學中產生的巨大影響在二十世紀的數學成就中是相當少見的．作為一種數學方法，KAM理論本身受到國際上許多一流數學家的重視．本項目將討論以下三方面的問題：.1.發展無窮維KAM方法，研究線性Schrödinger運算元的約化問題。我們將分別討論空間1維和高維情形。.2. 借鑑Chierchia和 Qian在光滑情形下的有限維KAM 定理，我們將給出並證明光滑情形下的無窮維KAM定理。我們要將所得到的定理套用於1維非線性Schrödinger方程（具體分為有界擾動與無界擾動情形）；進一步，結合Toplitz-Lipschitz 方法，套用到導數波方程、K.-G.方程等PDE。.3. 發展KAM處理解的有界性問題的方法，證明擾動項不滿足多項式條件時半線方程解的有界性問題及nonperturburtive性。

結題摘要

哈密頓動力系統的KAM理論一直是微分方程與動力系統的熱門研究領域，作為一種數學方法，KAM理論本身受到國際上許多一流數學家的重視。本項目在以下幾個方面取得了重要成果。 在哈密頓PDE的KAM理論方面發表論文3篇：（1） 我們給出了一維時間擬周期線性薛丁格方程的可約性結果[WL17]。創新點在於我們對勢函式的要求更弱，僅要對數衰減，而之前的工作都要求冪函式衰減。（2） 我們給出了高維時間擬周期線性薛丁格方程的可約性結果[LW19]。創新點在於我們對勢函式的光滑性要求僅為有限階光滑，不需解析。這是高維情形下為數不多的幾個結果之一。（3）我們給出了時間擬周期一維線性波方程在Dirichlet邊值條件下的可約性結果[LW17]。 在二階方程（組）周期解與擬周期解的存在性及多樣性問題中，我們發表論文4篇；其中（1） 利用相平面分析、扭轉不動點定理、變分方法研究二階方程（組）周期解的存在性及多樣性工作[DQWW16，W19-1，W19-2]是本項目組的特色之一。（2） 利用KAM方法研究二階方程擬周期解存在性及解的有界性問題是本項目組的特色之二。特別的，我們對半線性方程解的有界性討論引入了新方法[WWP16]。套用此方法，我們可以對超線性、半線性、次線性三類情形下方程擬周期解存在性及解的有界性問題進行統一處理，這是本項目的創新之一。 此外，在量子電漿的含時間薛丁格-泊松系統中（SP），項目組成員發表論文1篇[WLL18]。該論文發展了分裂切比雪夫組合（SCC）方法，在每一步時間上，將SP系統約化為兩個不耦合的薛丁格方程和泊松方程。 項目組成員證明了非完整系統的作用極小曲線系統滿足耗散拉格朗日系統等價於在通有條件下的接觸哈密頓系統。作為基礎性研究，文章討論了接觸哈密頓系統的不變數，相流完全性和周期行為等[LTW18]。