《無限維近可積哈密頓系統中不變環面的保存性研究》是依託南京農業大學，由任秀芳擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：無限維近可積哈密頓系統中不變環面的保存性研究
- 項目負責人：任秀芳
- 依託單位：南京農業大學
- 項目類別：數學天元基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
KAM理論是經典力學裡討論近可積保守系統（哈密頓系統，可逆系統，保體積映射）的動力學性態的著名理論，是處理小分母問題的重要工具。三個字母分別代表其創立者：蘇聯數學家 Kolmogorov和 Arnold，以及德國數學家 Moser.有限維KAM理論是指：非退化的可積系統在保守的微小擾動後，雖然某些不變環面會被破壞掉，但仍會有相當多的環面被保存下來。比利時數學家Bourgain曾在上世紀九十年代提出一個公開問題：可否將他的有限維相空間的具有指定頻率的不變環面的存在性結果推廣到無限維中去？即是否可以給出一個無限維KAM定理？本項目旨在回答這個問題，通過研究幾個有重要力學、物理學背景的非線性偏微分方程的擬周期解或概周期解的存在性和穩定性，力求得到無限維相空間被無數個具有指定頻率的不變環面分層的現象，包括低維和全維不變環面兩種情形。所得結果很可能適用於可逆系統，從而增加KAM理論的套用價值。
結題摘要
本項目主要完成兩項內容。第一、將有限維Hamiltonian 系統中，具有指定頻率的KAM不變環面的保存性結果推廣至無限維Hamiltonian 系統。 之後，將Hamiltonian 框架下的結果推廣至無限維 Reversible 系統（完成兩篇研究論文，目前處於審稿狀態）。第二、由於在Hamiltonian 系統中，非常係數的波動方程的周期解的存在性結果比較多，但相應的擬周期解的結果尚未出現。本項目另外研究在各向異性介質中傳播的波所滿足的方程：一維非常係數非線性波動方程， 考慮其擬周期解的存在性。這些研究內容都有一定的物理背景, 對非線性科學的研究有一定價值（研究中）。
